Гильберт. Основания математики | страница 52

В 1913 году Бор, стипендиат (благодаря поддержке фонда пивоваренной компании) лаборатории Эрнеста Резерфорда (1871-1937), квантизовал атом с целью объяснить атомные спектры. Прерывистые линии спектров были следствием квантизации энергии электронов внутри атома. К несчастью, модель атома Бора потерпела крах при применении ее к многоэлектронным атомам, и ученые постепенно приходили к выводу, что необходимо радикальное изменение в основаниях физики: появление нового вида механики (Макс Борн (1882-1970) назвал ее квантовой), который содержал бы связную аксиоматику, независимую от классических теорий, и преодолел бы мешанину из принципов, законов и вычислительных инструкций, составлявших старую квантовую теорию.

У Зоммерфельда я научился оптимизму, у гёттингенцев — математике, а у Бора — физике.

Вернер Гейзенберг

В 1925 году молодой физик Вернер Гейзенберг (1901-1976), приват-доцент в университете Геттингена, вывел основы квантовой механики, выздоравливая после приступа сенной лихорадки на острове Гельголанд. Гейзенберг настаивал, что множество всех частот и амплитуд излучения, испускаемого атомом, может считаться полным описанием системы атома, даже если невозможно истолковать его в смысле электронной траектории, которая вызывает излучение, поскольку орбиты электронов внутри атома ненаблюдаемы.

Посмотрим, как квантовые механики решали проблему нахождения различных энергетических уровней электрона атома водорода. В матричной механике нужно было «диагонализовать» матрицу Гамильтона Н, измеряющую общую энергию системы, то есть определить матрицу S так, чтобы матрица W = S^>-1HS была диагональной; так диагональные элементы Е_>n — это энергетические значения электрона:

В свою очередь, в волновой механике требовалось решить волновое уравнение Шрёдингера, то есть следующее уравнение в частных производных:

-Δψ + Vψ = Εψ,

где ψ — волновая функция (независимая от времени), V — потенциал, а Е — энергия. Если определить оператор Гамильтона как Η = -Δ + V (то есть кинетическая энергия плюс потенциальная энергия), предыдущее уравнение можно переписать, чтобы оно приняло вид Ηψ = Εψ и представляло собой то, что известно как проблема собственных значений, или проблема Штурма — Лиувилля, поскольку ею занимались французские математики Жак Шарль Франсуа Штурм (1803-1855) и Жозеф Лиувилль (1809-1882). Она называется так, поскольку это последнее уравнение допускает решение для некоторых значений ψ и Е, которые получают название собственных функций и собственных значений, соответственно.