>b
x(t) + ∫K(t,s)x(s)ds = ƒ(t),
> a
представить функции x(t), ƒ(t) и K(t, s) их коэффициентами Фурье, то это уравнение записывается как бесконечная система уравнений:
> ∞
xp + ∑kpqxq = ƒp p = 1, 2, 3...
> g=1
при условии, что сумма различных коэффициентов в квадрате конечна, то есть
>∞
∑x2p < ∞.
>p=1
Таким образом, при переходе из царства непрерывного в царство дискретного интеграл преобразуется в сумму (аналогичную операцию).
Пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемого квадрата (сегодня обозначаемое l>2), где нужно искать решение, — это и есть гильбертово пространство. В этом пространстве числовых последовательностей, по аналогии с обычным евклидовым пространством, Гильберт определил расстояние и распространил на него классические понятия предела, непрерывности и так далее. Как Гильберт, так и его лучшие ученики (в особенности Эрхард Шмидт) досконально исследовали это геометрическое сходство функционального пространства l>2 с обычным геометрическим пространством R". Вся теория о гильбертовых пространствах способствовала выходу на сцену первого известного пространства с бесконечным числом измерений в его каноническом представлении об l>2.
Эти годы были решающими, прежде чем появилась возможность общего анализа пространств функций. В 1906 году увидела свет докторская диссертация Мориса Фреше (1878— 1973), которая имела огромное влияние, поскольку в ней в абстрактном виде было введено понятие расстояния во множестве функций, а также остальные связанные геометрические понятия.
Через некоторое время, в 1907 году, два молодых математика — бывший ученик Минковского Эрнст Фишер (1875-1954) и Фридьеш Рис (1880-1956), в ту пору учитель средней школы из венгерского городка, — независимо друг от друга открыли неожиданную связь между расцветающим функциональным анализом и другим великим математическим открытием того времени — теорией интегрирования Анри Лебега (1875-1941), которая была призвана залатать прорехи классических теорий интегрирования Коши и Римана. Теорема Фишера — Риса гласит, что существует соответствие, или изоморфизм, между пространством Гильберта l>2 и пространством функций интегрируемого квадрата (которое сегодня мы называем L>2). В одночасье родилась вторая модель гильбертова пространства. Эти работы позволили ввести новые функциональные пространства, такие как обобщение уже известных: пространств
