И СВЕРШИЛСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ!
Функциональный анализ изучает функции в совокупности, то есть пространства функций. Наиболее явные его истоки находятся в интегральных уравнениях, которые определяют алгебраизацию анализа (типичный подход функционального анализа), но также присутствуют в вариационном исчислении, где впервые появляются идеи множества функций, допустимых для решения проблемы и расстояния между функциями (через функционал). Математический аппарат, утвердившийся с функциональным анализом, в конце 1920-х годов обратился в столп целой физической дисциплины — квантовой механики. Благодаря этому ключевому факту его мощные формулировки, связанные с распространением квантовых выкладок, постоянно обновлялись.
Функциональный анализ обобщает геометрические понятия w-мерного пространства (расстояние, теорема Пифагора и другие) до функциональных пространств бесконечной размерности. Среди этих пространств бесконечной размерности выделяется так называемое гильбертово пространство, построенное в области интегральных уравнений самим Гильбертом, но аксиоматизированное в связи с квантовой механикой его талантливым учеником Джоном фон Нейманом, который назвал пространство именем своего учителя около 1930 года.
Гильбертово пространство в зачаточном виде появляется в статье 1906 года (четвертой из шести статей об интегральных уравнениях и первой настоящей статье о функциональном анализе). Можно сказать, что гильбертово пространство образуют функции, являющиеся решением интегральных уравнений. Когда Гильберт изучал интегральное уравнение, ему в голову пришла идея рассмотреть особую систему функций, которая выполняла бы некоторые свойства (для тригонометрической системы — быть базисом функционального пространства) и свести решение уравнения к определению коэффициентов неизвестной функции относительно этой системы (точнее, координат неизвестной функции относительно этого базиса пространства). Рассматривая тригонометрическую систему, он старался найти неизвестную функцию, представив ее с помощью коэффициентов Фурье (бесконечной последовательности чисел, позволяющих выражать функцию интегрируемого квадрата в виде суммы тригонометрических функций, умноженных на эти числа). Коэффициенты, как он заметил, удовлетворяли условию конечности суммы их квадратов. После подстановки этих отождествлений (или разработок) в интегральное уравнение проблема преобразилась в проблему решения бесконечного числа линейных уравнений с бесконечными неизвестными (коэффициентами функций из суммируемого квадрата). Продолжая данный пример, если в уравнении
