Кантор. Бесконечность в математике. | страница 28

Чтобы узнать координаты точки Р, спроецируем ее перпендикуляр на каждую из выбранных сторон (как точка на земном шаре проецируется на экватор и на Гринвичский меридиан). Одним из чисел будет абсцисса Р_>у вторым — его ордината.

Теперь докажем, что вещественные числа между 0 и 1, включая обе эти точки, эквивалентны множеству, которое получается, если мы уберем 1. Графически первая группа выглядит как отрезок, ограниченный с двух сторон, а вторая — как отрезок без одного конца (см. рисунок 1). Чтобы установить соответствие (см. рисунок 2), сопоставим 1 из первой группы с 1/2 второй, 1/2 первой группы — с 1/3 второй, 1/3 первой — с 1/4 второй и так далее. Остальные числа первой группы, то есть все, отличные от 1/2,1/3,1/4 (как 3/4, например), будут соотнесены с самими собой. Таким же образом мы можем доказать, что отрезок без одного конца соотносится с отрезком, не имеющим ограничений. Следовательно, все три отрезка — отрезок с двумя концами, отрезок без одного конца и отрезок без ограничений — эквивалентны друг другу.

РИС. 1

Изобразим отсутствие точки как пустую окружность.

РИС. 2

Таким образом, каждая точка квадрата определена двумя координатами. Сначала ставят абсциссу, а потом ординату: мы будем говорить о точках координат 0,2 и 0,7, подразумевая, что 0,2 — значение по абсциссе, а 0,7 — по ординате.

Задача заключается в том, чтобы установить взаимно однозначное соответствие между вещественными числами, находящимися между точками 0 и 1, и парами чисел между 0 и 1 так, чтобы каждому числу соответствовала единственная пара, а каждой паре — только одно число.

Предположим, есть число 0,213421342134... Какой паре координат оно соответствует? Возьмем цифры, стоящие в нечетных позициях после запятой (первую, третью, пятую и так далее). Это числа 232323... Затем рассмотрим четные позиции. Это числа 141414... Число 0,213421342134... соответствует, таким образом, паре координат 0,232323... и 0,141414...

Аналогично, если у нас есть точка с координатами 0,232323... и 0,141414..., чтобы получить соответствующую точку на отрезке, возьмем первое число абсциссы, первое число ординаты, потом второе число абсциссы, второе число ординаты и так далее. Мы получим число 0,21342134... (см. рисунок 3).

Теперь докажем, что два отрезка разной длины эквивалентны. Сначала проведем две прямые через концы отрезков и обозначим точку их пересечения буквой О. Затем проведем еще прямые через точку О. На рисунке показано, как с их помощью соотнести с каждой точкой Р на одном отрезке точку F на другом.