Кантор. Бесконечность в математике. | страница 27

Лорд Бертран Рассел, 1910 год.

В этом же письме Кантор утверждал, что, разумеется, кардинальное число точек квадрата должно превосходить кардинальное число точек отрезка. Дедекинд согласился, но Кантор также добавлял, что задача тем не менее «очень сложна».

И действительно, на пути к ее решению было много препятствий, и чтобы найти его, Кантору потребовалось три года. Он изложил его Дедекинду в письме от 20 июня 1877 года, и уже 22 июня Дедекинд отправил свое послание, в котором оспаривал аргументацию Кантора. Тот ответил двумя письмами от 25 и 29 июня. В последнем, очень характерном для Кантора, говорилось: 

«Прошу Вас извинить мое рвение, если я слишком часто злоупотребляю Вашей добротой и снисходительностью. То, что Вы сообщили, для меня настолько неожиданно и ново, что я не мог бы, так сказать, достичь некоего спокойствия духа, прежде чем получу, мой многоуважаемый друг, Ваше мнение по поводу верности [моего предположения]. Пока Вы не одобрите мои выводы, я могу лишь сказать je le vois, mais je ne le crois pas [«я это вижу, но этому не верю», франц.]. 

Мы можем предположить, что Дедекинд помог Кантору достичь «некоего спокойствия духа», потому что его ответ, отправленный из Брунсвика 2 июля, начинался так: 

«Я еще раз рассмотрел Ваше доказательство и не нашел в нем никаких пробелов; я убежден, что Ваша интереснейшая теорема верна и поздравляю Вас».

Ответ, к удивлению самого Кантора, заключался в том, что между точками отрезка и точками квадрата существует взаимно однозначное соответствие. Другими словами, несмотря на то что у квадрата есть еще одно измерение, его кардинальное число (мощность) не больше, чем у отрезка.

Как это доказать? Отрезок — это часть прямой между двумя фиксированными точками. Следовательно, можно приравнять его к совокупности всех вещественных чисел, заключающихся между этими точками. Поскольку 0 и 1 отмечены в произвольных точках числовой оси, мы можем приравнять любой отрезок к множеству вещественных чисел, расположенных именно между 0 и 1. Так, на рисунке 1 изображена точка, соответствующая числу 0,75.

РИС.1

РИС. 2

Как представить точки квадрата в числовом виде? Как известно, координаты на земном шаре определяются по двум осям — ширине и долготе. Аналогично и у точек квадрата имеются две координаты — абсцисса и ордината (рисунок 2).

Как определить положение точки Р квадрата на осях абсциссы и ординаты? Для этого, как показано на рисунке 2, выберем две непараллельные стороны квадрата и, как в случае с отрезком, отметим на них 0 и 1. Нулю будет соответствовать их общая вершина.