Кантор. Бесконечность в математике. | страница 18
Кардинальное число целых чисел всегда будет *********... Следующая группа, которую мы должны рассмотреть, состоит из рациональных чисел. Слово «рациональный» происходит от латинского ratio, что означает и «разум», и «отношение», «деление». Таким образом, рациональные числа — это такие числа, которые можно записать в виде соотношения двух целых чисел (в математике их еще называют дробями). Рациональными являются числа
Целые числа также являются рациональными, например 3/1 = 3 и 0/1 = 0 (выражение 0/0 не представляет никакого рационального числа, как и 1/0, 2/0, 3/0...). Следовательно, мы можем доказать, что множество рациональных чисел включает в себя и множество целых чисел, которое, в свою очередь, включает множество натуральных чисел. И тем не менее между множеством рациональных чисел, с одной стороны, и множеством натуральных и целых чисел, с другой, есть фундаментальное различие. Чтобы объяснить его суть, нам понадобится числовая ось. Это прямая (ее можно представить себе как потенциально, так и как актуально бесконечную), на которой отмечены числа. Сначала выберем произвольную точку и отметим на ней число 0, а потом еще одну, на которой отметим 1.
Каждая из этих точек на самом деле является математической, то есть не обладает длиной, но в данном случае, чтобы сделать их видимыми, мы обозначим их маленькими окружностями.
Выбор места для точек 0 и 1 совершенно произволен, но, сделав его, мы обусловим расположение остальных чисел. Расстояние между 0 и 1 должно равняться расстоянию между 1 и 2, а также расстоянию между 2 и 3 и так далее. То же справедливо и для отрицательных чисел.
Георг Кантор в 1870 году по прибытии в Галльский университет.
Университет в Галле, приблизительно 1936 год.
Портрет Рихарда Дедекинда. Генрих Кенигсдорф, 1927 год.
Портрет Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса. Конрад Фер.
Немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) придумал задачу, в которой упрощенно излагается одно из следствий теории Кантора. Представим себе отель, в котором есть бесконечное количество комнат, обозначенных номерами 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. В каждом номере есть постояльцы, которых мы для удобства так же обозначим числами 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Однажды в отель приезжает новый гость, назовем его Господином 0, но все номера заняты, а по правилам отеля двое людей не могут занимать один номер. Господин 0 уже собирается уходить, когда ему предлагают такой вариант: он поселится в номере 1, гость 1 — в номере 2, гость 2 — в номере 3 и так далее. Таким образом, Господин 0 сможет остановиться в отеле, и никто не останется без комнаты.
