Кантор. Бесконечность в математике. | страница 17

Как теория Кантора решает парадокс Галилея, рассмотренный в главе 1? С одной стороны, очевидно, что натуральных чисел больше, чем квадратных, поскольку натуральные включают в себя квадратные. С другой стороны, взаимно однозначное соответствие двух множеств предполагает, что в них одинаковое количество членов.

Ответ Кантора основывается на том, что первое утверждение Галилея ложное. То, что множество квадратных чисел является частью множества натуральных чисел, верно, но из этого нельзя сделать вывод, что их больше, чем квадратных.

Когда речь идет о бесконечных множествах, совокупность необязательно больше части; другими словами, для актуально бесконечных групп не всегда действуют те же правила, что и для законченных. Квадратные числа входят в группу натуральных, но мощность и тех и других одинакова, так что никакого парадокса нет.

Интуиция говорит нам, что натуральных чисел должно быть вдвое больше по сравнению с парами, в то время как взаимнооднозначное соответствие подсказывает: в этих группах одно и то же количество членов.

Брайан Банч, «Математические хитрости и парадоксы», 1982 год

Основываясь на этих рассуждениях, несколько лет спустя немецкий математик Рихард Дедекинд (1831-1916) предложил альтернативное определение актуальной бесконечности. Вместо того чтобы исходить из отрицания — множество бесконечно, когда оно не конечно, — он решил действовать от обратного. По Дедекинду, актуально бесконечное множество равномощно любому своему подмножеству (этим свойством обладают все актуально бесконечные группы и только они). Мысль Дедекинда была встречена благосклонно, и его определение до сих пор используется в области математической бесконечности.

Продолжим рассмотрение статьи Кантора 1874 года. Мы уже знаем, что множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству квадратных чисел. Обратимся теперь к целым числам.

В их множество входят натуральные и отрицательные числа: -1, —2, —3, —4, ... Такое множество, как и квадратные числа, эквивалентно натуральным. Чтобы доказать это, достаточно продемонстрировать взаимно однозначное соответствие этих групп.

Предположим, что мы сопоставляем Ос 0, 1 с -1, 2 с -2, 3 с -3 и так далее.

Эта попытка провалится, так как в правой колонке не все числа будут целые, то есть некоторые целые числа останутся без пары. Но тот факт, что это решение неверное, не означает, что не существует правильного разбиения на пары. Действительно, если мы соотнесем натуральные числа 0,1,2,3,4,5,6,... с целыми 0,1, -1, 2, -2,3, -3,..., то получим взаимно однозначное соответствие между ними.