Кантор. Бесконечность в математике. | страница 14

Хорхе Луис Борхес, 1976 год.

Аристотель, Галилей и многие другие мыслители, жившие до XIX века, безапелляционно заявляли, что говорить о количестве членов бесконечного множества не имеет никакого смысла. В 1870-е годы этот подход был еще настолько распространен, что из осторожности никто бы не поставил его под вопрос, тем более в научной статье. Однако в 1874 году Кантор впервые ввел понятие «количества элементов бесконечного множества» и обозначил его как «кардинальное число (или мощность) множества».

Получив докторскую степень, еще в Берлине Кантор опубликовал три статьи в Zeitschrift fur Mathematik und Physik («Физико-математический журнал»): одну в 1868-м, а другие две — в 1869 году. В первой он рассматривал классическую арифметическую задачу и решал ее методами, которые даже по тем временам не были инновационными, зато в двух других приблизился к тому, что впоследствии обрело форму теории бесконечности.

Обе эти статьи были посвящены вычислению. В первой статье — (Jberdie einfachen Zahlensysteme («О простых числовых системах») — рассматривалось одно свойство иррациональных чисел, во второй — Zwei Satze iiber eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Produckte («Две теоремы о разложении чисел на бесконечные множители») — возможность представить определенные числа как результат бесконечных произведений.

Тема «бесконечного произведения» затрагивала область исчисления, но надо пояснить, что здесь речь шла о потенциальной бесконечности. Так, если умножить 0,5 само на себя «бесконечное количество раз», то в результате получится 0, но это надо понимать в том смысле, что чем больше раз мы совершим это умножение, тем ближе мы подойдем к 0. Действительно, если мы перемножим 0,5 дважды, то получим 0,25; трижды — 0,125; четырежды — 0,0625, и так далее. Результат будет постепенно приближаться к 0. Здесь суть заключается в приближении, а не в актуально бесконечном произведении 0,5.

В наши дни [...] доказательства [...] Кантора по праву украшают мировой музей истории математики.

Мартин Гарднер, ^Нескучная математика. Калейдоскоп головоломок*, 1975 год

Пока Кантор писал эти статьи, на жизнь он зарабатывал уроками математики в женской гимназии и корпел над диссертацией на получение степени хабилитированного доктора. Она была необходима, чтобы преподавать в университете. Тема диссертации Кантора на латыни звучала как De transformatione jоплатит temariarum quadraticorum («О преобразовании тернарных квадратичных форм»).