Эйлер. Математический анализ | страница 49
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ,
который итальянский математик Пьетро Менголи сгруппировал так:
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +
+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ...
≥ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... ,
показав, что его сумма бесконечна. Другие же вызывали недоумение. Рассмотрим пример:
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
В таком виде кажется, что его сумма равна 0:
(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0,
а если сгруппировать его так, то сумма равна 1:
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1.
На самом деле оба результата неправильны. Эйлер, как и другие математики того времени, предпочитал исходить из известного ряда
1/(1-x) = 1 + x + x>2 + x>3 + x>4 + x>5 + ...
Подставив вместо х число -1, он пришел к
1/2 = 1/(1- (-1)) = 1 + (-1) + (-1)>2 + (-1)>3 + (-1)>4 + (-1)>5 + ...
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.
то есть ни 1, ни 0: Эйлер утверждал, что сумма равна 1/2.
К арсеналу уже известных к тому времени рядов
Эйлер постепенно добавил много собственных результатов: решение Базельской задачи; формулу суммирования Эйлера — Маклорена, которая улучшала сходимость, если таковая наблюдалась; преобразование рядов через конечные и последовательные разности; а также важные открытия в области расходящихся рядов. Фактически, в 1755 году, то есть в эпоху, когда еще не существовало понятие предела, ученый уже различал сходящиеся и расходящиеся ряды. Среди рядов, суммированных Эйлером, мы находим
π/(3√3) = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ...
π/(2√2) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ...
π/3 = 1 + 1/5 - 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + ...
π>2/(8√2) = 1 - 1/3>2 - 1/5>2 + 1/7>2 + 1/92 + ...
π>2/(6√3) = 1 - 1/5>2 - 1/7>2 + 1/112 + 1/13>2 + ...
1 -1! + 2! -3! + ... = 0,596347362123...
Он также открыл два новых ряда. Один — данная последовательность степеней:
arxtgz = z - z3/3 + z5/5 + z7/7 + ... ,
а вторым был первый ряд Фурье в истории, который Эйлер описал в 1744 году в письме Гольдбаху, то есть задолго до того, как Жозеф Фурье (1768-1830) начал свои знаменитые исследования. И даже до того, как Фурье родился.
1/2x = sinx - 1/2 sin 2х + 1/3 sin Зx - ...
Вклад Эйлера в теорию чисел огромен, и его подробное изложение не является целью этой книги. Достаточно сказать, что только Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851) и Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887-1920) могут сравниться с ним по значению своих работ в этой области. Еще одним важным разделом математики, интересовавшим Эйлера, были дифференциальные уравнения. Здесь его самым знаменитым открытием, возможно, является метод Эйлера, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения первого порядка.
