Эйлер использовал формулу Муавра, не приведя никакого ее доказательства. Он совместил ее с другой формулой, названной его именем и созданной еще в Базеле (как мы видели в главе 2):
е>ix = cosx + isinx,
и вывел, пользуясь простым правилом возведения в степень, выражение, которое сегодня мы записали бы так:
е>х+iy = е>х (cosу + isiny).
Эйлер пришел к этим результатам, а также к другим, имеющим огромную важность, отталкиваясь от простого ряда Тейлора:
ex = Σ>n=0>∞x>n/n! = 1 + x + x>2/2! + x>3/3! + x>4/4! + ...
В приложении 5 мы более подробно объясним, как Эйлер вывел свою формулу из этого выражения.
Если мы подставим вместо х число π, то, по формуле Эйлера, получим:
e>ix = cosπ + isinπ = -1 + i0 = -1,
а перенеся -1:
e>ix + 1 = 0.
Многие математики считают это уравнение, известное как тождество Эйлера, самым красивым в этой науке.
В Introductio in analysin infinitorum можно также обнаружить понятие логарифма в форме, позволяющей решить задачу отрицательных логарифмов, которая не давала Эйлеру покоя со времен его базельской юности. Он совершенно правильно определял их как результат операции, обратной возведению в степень:
a>logº>x = x.
а это значит, что логарифм в области комплексных чисел имеет бесконечное число значений, которые отличаются только четным произведением π, то есть 2kπ. В частности:
ln(-1) = iπ + 2kπ(k € Z),
что приводит нас к таким выражениям, как
i>i = e>ilni = e>(-π/2) ~ 0,2078795764.
В этой работе также впервые появляются число е, формула Муавра, ряд степеней sinx и cosx, понятие функции, несколько степенных рядов (а также представлено другое решение Базельской задачи) и так далее, объясняются и систематизируются начала аналитической геометрии, неразрывно связанной с анализом. Среди затронутых тем можно найти косоугольные и полярные координаты, преобразование координат, асимптоты, кривизну, пересечение кривых, касательные и многие другие. Подход Эйлера к этим понятиям не просто современен, он действительно соединил точки зрения Ньютона и Лейбница и объяснил раз и навсегда, что дифференцирование и интегрирование являются обратными друг другу действиями, двумя сторонами одной медали. В Institutiones calculi differentialis и Institutiones calculi integralis содержится первое исследование рядов, непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, включая частные производные, максимумы, минимумы и так далее. Эйлер начал интеллектуальную схватку длиною в жизнь с числовыми рядами: никто не знал, сходятся ли эти бесконечные суммы, и если сходятся, то к чему. В некоторых случаях расхождение было очевидным, как, например, в так называемом гармоническом ряде:
