Лейбниц. Анализ бесконечно малых | страница 49

)/(n+1)

^>0

Он сформулировал утверждение, известное как принцип Кавальери: "Если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объемы тел равны между собой". На рисунке 1 на следующей странице можно увидеть конкретный случай из двух треугольников с одинаковым основанием и высотой, где неделимые одинаковы, следовательно площадь одна и та же.

Несмотря на критику, которую получил метод Кавальери, многие математики пошли по тому же пути неделимых. Ферма, Торричелли, Паскаль и Роберваль также предложили похожие методы, хотя и заменив линии другими элементами, такими как прямоугольники, треугольники, параллелепипеды или цилиндры.

РИСУНОК 1. Два треугольника с одинаковым основанием и высотой имеют одну и ту же площадь.

РИСУНОК 2. Метод Кавальери для нахождения площади области, ограниченной параболой.

Жиль де Роберваль, один из членов-основателей Парижской академии наук, заменил линии Кавальери бесконечно малыми прямоугольниками. Он чертил ряд прямоугольников одной и той же ширины и предполагал, что площадь под кривой можно приблизить к площади этих прямоугольников, если их ширина достаточно мала. Для нахождения площади под параболой, например, он следовал методу, показанному на рисунке 2. В современной записи речь бы шла о том, чтобы найти

_>a

∫x^>2 dx .

^>0

Возьмем n прямоугольников, расположенных на горизонтальной оси. При этом t означает порядковый номер прямоугольника. Пусть подобный прямоугольник имеет основание е, тогда высотой его будет значение функции параболы, соответствующее абсциссе t • е. Следовательно, его площадь равна е • (t • е)^>2. Если сложить все прямоугольники, получится:

А = е -е^>2 + е • (2е)^>2 + е • (Зе)^>2 + ... + е- (ne)^>2 =

= е^>3 + 4е^>3 + 9е^>3 +... + n^>2 • е^>3 = е^>3-( 1 + 4 + 9 +... + n^>2).

Сумма членов ряда квадратов уже нам известна и равна:

n^>3/3+n^>2/2+n/6,

и если обозначить через а сумму п значений ширины прямоугольников, то есть a = ne, то:

e = a/n,

и предыдущее выражение превращается в:

A = (a/n)^>3(n^>3/3+n^>2/2+n/6) = a^>3(n^>3/3n^>3+n^>2/2n^>3+n/6n^>3) = a^>3(1/3+1/2n+1/6n^>2).

Поскольку предполагается, что n — достаточно большое число для оптимального приближения, дробями с n в знаменателе можно пренебречь, ведь значение этих дробей приближается к нулю, и получается, что площадь под параболой равна:

a^>3/3.

Были и другие математики, которые настолько близко подошли к определению анализа бесконечно малых, что как бы расстелили ковровую дорожку, по которой Ньютон и Лейбниц вошли в историю. Английский математик Джон Уоллис, королевский криптограф, представил в 1656 году свою главную работу "Арифметика бесконечного", в которой на основе работ Декарта и Кавальери изложил свой метод работы с бесконечно малыми. Уоллис вычислил квадратуру гипербол, то есть кривых, уравнения которых имеют вид: