>∞
∑(-1)>n = 1-1+1-1+1-1+1-1+...
>n=1
Если взять четное число членов, частичная сумма равна 0, в то время как если взять нечетное число, частичная сумма равна 1. Лейбниц в итоге присвоил этой сумме значение 1/2.
Простое рассуждение для получения этого решения следующее:
5=1-1 + 1-1 + 1-1 + 1 -... = 1 - (1-1 + 1-1 + 1-1 +...) = 1-S,
откуда после упрощения получается 2S = 1, и, следовательно, искомая сумма равна S = 1/2.
Во время визита к Роберту Бойлю Пелл указал Лейбницу на то, что математик Франсуа Рейно уже опубликовал общий метод прерывания рядов с помощью разностей. Ученый ознакомился с данным исследованием, выяснил, что его метод отличается от метода Рейно, и написал свою работу для представления в Королевском обществе. Однако эта работа была встречена довольно холодно, и его даже обвинили в плагиате. Сам Лейбниц позже признал, что там действительно не содержалось никакого нового результата, а вся изюминка заключалась в новом представленном методе.
Провал работы заставил ученого понять, что ему очень не хватает математических сведений: он не знал о многом из того, что уже было опубликовано. Поэтому Лейбниц потратил почти год на самосовершенствование в этой области.
НОВОЕ ЗАНЯТИЕ
Когда Лейбниц покидал Париж, он уже был советником герцога Ганновера, то есть занимал должность, оставшуюся за ним до конца жизни. С 1677 года Лейбниц стал тайным советником герцога Иоганна Фридриха: это была наиболее ответственная и оплачиваемая должность. Решив свои финансовые проблемы, ученый смог использовать возможности, которые давало ему его новое положение, для исследования интересующих его научных проблем. Сначала Лейбниц нехотя согласился на эту должность, но позднее выражал свое удовлетворение ролью, которую играл.
Став библиотекарем герцога, он начал расширять библиотеку, заполняя ее книгами из всех самых важных областей знания, больше заботясь о качестве, чем о количестве, для чего использовал собственный опыт и связи в ученом мире. Новое
занятие позволяло ему ездить в другие города в поисках интересных книг для герцогской библиотеки. Например, в 1678 году Лейбниц посетил Гамбург, чтобы купить библиотеку Мартина Фогеля, последователя немецкого ученого Иоахима Юнга.
По возвращении он написал для герцога ряд сочинений на такие разнообразные темы, как улучшение государственного управления, организация архивов, практика сельского хозяйства и работа на фермах. В них Лейбниц доказывал, что, заботясь об увеличении благосостояния народа, нужно иметь четкое представление об имеющихся в распоряжении ресурсах, как человеческих, так и природных. Кроме того, он изложил герцогу идею, которая только начинала зарождаться в его голове: создать в Германии академию наук. Лейбниц даже представил ряд изобретений, предназначенных для повышения эффективности горнодобывающей промышленности, таким образом намереваясь получить средства на создание этого учреждения.
