a>mx>m + a>m-1x>m-1 + ··· +а>1x + b == 0 (mod р),
модуль которой р — простое число, не являющееся делителем а>m, может быть решена не более чем m различными способами или не может иметь больше m корней, не сравнимых по модулю р.
В разделе III, озаглавленном De residuis Potestatum («О степенных вычетах»), говорится о квадратичных вычетах и вычетах большей степени. Если заданы целые числа тип, где m не является делителем n, и если существует такое число x, что х² = m (mod n), говорят, что m — квадратичный вычет по модулю n; в противном случае говорят, что m — квадратичный невычет по модулю n. Например: 13 — квадратичный вычет по модулю 17, поскольку уравнение х² == 13 (mod 17) имеет в качестве решений х = 8, 25, 42, поскольку 8² = 64, что при делении на 17 дает 13 в остатке, 25² = 625, что при делении на 17 вновь дает 13 в остатке, и то же самое происходит с 42² = 1764.
В разделе доказывается малая теорема Ферма: np->1 == 1 (mod p), где р — простое число, не являющееся делителем n. То есть если р — простое число, которое не является делителем n, то n>p-1 всегда делится на р. Для случая n = 8 np = 5 получается, что 8>4-1 = 4095, а это делится на 5. Для получения этого результата Гаусс воспользовался формулой бинома Ньютона, сформулированной для сравнений. Следствием является теорема Вильсона, в которой говорится, что если задано простое число р, то
1·2·3·...·(p-1) = (p-1)! == -1 (mod p).
Произведение всех чисел, меньших заданного простого, при добавлении единицы всегда делится на это число. Если, например, мы выберем 7, то 6! = 720, а 721 делится на 7.
Три первых раздела представляют собой системное введение в теорию чисел и готовят почву для разделов IV и V.
Главный итог раздела IV — это знаменитый квадратичный закон взаимности. Теорема (в виде гипотезы) была сформулирована Эйлером в 1742 году в его письме Гольдбаху. Полвека спустя, в 1798 году, Лежандр опубликовал доказательство, основанное на недоказанных аргументах, так что первое правильное доказательство теоремы принадлежало Гауссу, который называл ее золотой теоремой. В книге Гаусса она сформулирована в следующем виде:
Если р — простое число вида 4n + 1, то +p — вычет (или невычет) по модулю любого простого числа, которое, взятое в положительной форме, является вычетом (или невычетом) по модулю p. Если р имеет вид 4n + 3, то -р обладает тем же свойством.
Скобки в теореме указывают на то, что результат может быть прочитан при исключении содержимого скобок или при включении их при замене непосредственно предшествующего выражения. Проще говоря, существует взаимность между парой сравнений х² == q (mod р) и х² == р (mod q), где р и q — простые числа. То есть если мы можем проверить первое сравнение (х² == q (mod p)), то автоматически проверяется и второе (х² == р (mod q)); и если первое неверно, то неверно и второе. Есть одно исключение, которое состоит в том, что как p, так и q в остатке дают 3, когда делятся на 4; в этом случае одно и только одно из сравнений верно.
