Гаусс. Теория чисел | страница 28
Значимость этой системы проявляется, когда речь идет о более сложных вычислениях. Если нужно вычислить 7³ = 7 · 7 · 7, вместо того, чтобы умножать 49 на 7, Гаусс мог ограничиться тем, чтобы умножить 7 на результат последнего сравнения по модулю, то есть 1, произведение будет равно, без сомнения, 7. Так, Гаусс знал, что произведение — это число, которое при делении на 12 в остатке дает 7. Этот метод может быть применен на больших числах, которые превышают возможность вычисления. Не имея ни малейшего понятия о значении 799, с помощью сравнений по модулю ученый знал, что если разделить это число на 12, в остатке получится 7. Исследования Гаусса в этой области арифметики были революционными для математики начала XIX века и позволили ученым обнаруживать структуры, до этого скрытые. Сегодня арифметика сравнений по модулю, также называемая модульной арифметикой, является фундаментальной для безопасности в интернете, где сравнения используются для величин, превышающих количество атомов во Вселенной.
Также преимущество этой записи состоит в том, что она напоминает форму, в которой мы записываем алгебраические выражения. Вместо арифметической делимости, описание которой может быть громоздким, она дает краткую запись, благодаря которой можно складывать, вычитать и умножать сравнения, если их модуль одинаков, а также решать уравнения вида: ах + b == c (mod m).
В заключении к двум первым разделам Гаусс применил эти методы к историческим проблемам, таким как вычисление знаменитой функции φ Эйлера. Функция φ(N) определяется как количество целых положительных чисел, меньших или равных N и взаимно простых с Ν. В математике два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, то есть их наибольший общий делитель — 1. Например, 9 = З² является взаимно простым с 10 = 5 · 2, и его нужно было бы найти при вычислении φ( 10). Множество φ( 10) состоит, следовательно, из четырех элементов (1, 3, 7 и 9), и значит, φ( 10) = 4.
Гаусс вывел общую формулу для вычисления φ(Ν). Если мы разложим N на простые множители ρ>1,ρ>2, ...,р>n, то получим N = р>1>m>1, p>2>m>2 · ... · p>n>m>n, где p>i простые числа, a m>i — кратность их повторения. Формула имеет вид:
Если применить формулу к N= 10, то
чего и следовало ожидать.
Формула зависит от простых чисел, на которые раскладывается N, а не от кратности их повторения. В случае с N = 180 получается, что 180 = 2² · З² · 5, следовательно,
Раздел заканчивается доказательством основной теоремы о многочленных сравнениях. Так, сравнение степени m,
