Однако принцип Эйлера в своем первоначальном виде работал не везде. Если подбросить камень, он сначала получит потенциальную энергию, а лишь затем начнет ее терять. Кажется, что при определении траектории частицы на нее воздействует не только потенциальная энергия, но и кинетическая.
Окончательная формулировка принципа наименьшего действия принадлежит Лагранжу и Гамильтону. С одной стороны, эти ученые переформулировали принцип Эйлера таким образом, чтобы он работал во всех случаях. С другой стороны, Лагранж и Гамильтон разработали новые математические методы для решения уравнений, которые следуют из этого принципа.
Ими было введено математическое понятие, названное лагранжианом, которому, по иронии судьбы, определение дал Гамильтон. Лагранжиан — это просто разница между кинетической и потенциальной энергией. Если мы обозначим лагранжиан через L, кинетическую энергию — через Т, а потенциальную — через V, то лагранжиан можно вычислить следующим образом:
L = T — V.
Значение лагранжиана различно для каждого промежутка времени движения частицы. В случае с камнем, брошенным вверх, его кинетическая энергия сначала уменьшается, пока не достигнет верхней точки, где становится нулевой, а затем снова увеличивается по мере того, как камень падает. Потенциальная энергия, в свою очередь, увеличивается, пока камень поднимается, а во время падения уменьшается.
* * *
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (1736–1813)
Он был одним из самых значительных математиков XVIII века. Среди заслуг Лагранжа — разработка вариационного исчисления, математического инструмента, позволяющего найти функцию, на которой заданный функционал достигает максимального или минимального значения. Методы Лагранжа до сих пор широко используются в физике, математике и даже в экономике, где найти максимальные значения некоторых величин, таких как выгода, очень важно. Помимо вклада в базовую науку, Лагранж стал одним из инициаторов внедрения метрической системы. Считается, что именно ему принадлежит идея выбрать килограмм и метр в качестве международных единиц.
Несмотря на закрытый характер, Лагранж пользовался большим признанием: он провел два десятилетия в Берлине, где Фридрих II Великий (1712–1786) регулярно обращался к нему за советами. После смерти монарха математик переехал в Париж, и его авторитет сохранился даже в период революции, в то время как другим ученым, таким как Антуан Лавуазье (1743–1794), повезло гораздо меньше. За два дня до смерти Лагранжа Наполеон наградил его Великим крестом имперского ордена Собрания. Похоронен ученый в Пантеоне, его могила открыта для посещений.
