Многие думают, что раз я работаю в области фундаментальной математики, я, наверное, занимаюсь делением в столбик, вычисляя множество знаков после запятой. Неужели мое рабочее место еще не занял электронный калькулятор? Такое ошибочное представление, что математики – это такие сверхвычислители, встречается часто. Но это вовсе не значит, что в моей работе нет вычислений. Многие изощренные математические темы начинались с задач, требовавших изобретения хитроумных арифметических методов, – как это было с шорткатом, который нашел в школе Карл Фридрих Гаусс. Существует богатая история шорткатов, которые открыли люди, пытавшиеся считать более рационально. Даже калькуляторы, которыми мы пользуемся сегодня, были запрограммированы с учетом некоторых из наиболее удачных шорткатов, придуманных на протяжении многих лет математиками.
Мы привыкли считать компьютеры всемогущими устройствами, способными сделать что угодно. Но возможности компьютеров тоже небезграничны. Взять хотя бы задачу о сложении чисел до 100, которую решал Гаусс. Разумеется, компьютер справится с ней без всякого труда. Однако бывают числа, слишком большие даже для компьютера. Если попросить его сложить все числа, меньшие такого числа, он зависнет. В целом компьютерам по-прежнему нужны люди, придумывающие шорткаты, которые, будучи вставлены в компьютерные программы, позволяют машинам делать больше и быстрее. В этой главе я расскажу о довольно поразительном применении одной на первый взгляд заумной математической идеи – мнимых чисел, – открывшем очень важный шорткат, который позволяет компьютерам решать множество самых разных задач, в том числе сажать самолеты достаточно быстро, чтобы они не сталкивались в воздухе.
Уже то, как именно мы записываем числа, может определить, будут ли вычисления простыми или окажутся сложной и трудной работой, в которой легко ошибиться. Момент, когда мы поняли, что удобное символическое обозначение сложных идей – это шорткат к эффективному мышлению, был важным моментом развития человечества. Судя по историческим данным, каждая цивилизация осознавала, что письменность вообще и записывание устной речи в частности дает мощное средство для сохранения, передачи и использования новых идей. И каждый раз при возникновении новой системы письменности какого-либо языка, как правило, появлялись и новые хитроумные способы записи концепции чисел. Но те цивилизации, которые создавали более удобные системы записи чисел, получали в свое распоряжение шорткаты к более быстрым и рациональным методам вычислений и работы с данными.
