1 2 2 1 0). Матрицы этим свойством не обладают (вообще говоря, T|T| — T|T| ≠ 0). 1 2 2 1
Инвариантность (55) функции Ψ требует введения уже
1 не одномерного пространства S|, а многомерного. Например, если матрица T двумерна, то соответствующее ей пространства
3 — трехмерная сфера S|. Соотношение между размерностями матрицы (n) и соответствующего ей пространства (N) определяется квантовомеханическим условием унитарности: N=n**2–1 (n≥2).
Для понимания дальнейшего целесообразно вначале ограничиться геометрической интерпретацией электрослабого взаимодействия.
Известно, что слабое взаимодействие характеризуется
± 0 тремя частицами-переносчиками — тяжелыми W||- и Z|-бозонами, образующими изотопический триплет. Изотопический триплет соответствует трем независимым направлениями вектора состояния в изотопическом пространстве. Поэтому для своего геометрического описания этот триплет требует трехмерную
3 сферу S|.
Электромагнитное взаимодействие (изотопический спин фотона
1 равен нулю) описывается сферой S|. Поэтому может показаться, что для совместного описания электрослабого
3 взаимодействия могут потребоваться и сфера S| и сфера
1 3 1 (окружность) S| (прямое произведение S| x S|). Однако ясно,
3 1 что сфера S| уже включает окружность S| — она состоит из бесконечной совокупности окружностей. Поэтому может опять возникнуть неверное впечатление, что для описания
3 электрослабого взаимодействия достаточно одной сферы S|, уже
1 включающей окружность S|. В действительности такая процедура слишком упрощена. Выше отмечалось, что окружность
1 (сфера S|) обладает среди сфер уникальной особенностью: лишь
1 в пределах сферы S| два последовательных вращения коммутативны, что отражается в разнице правил коммутации двух чисел и двух матриц. Суммарное вращение в пределах окружности не зависит от порядка, в котором вращается вектор состояния. Окончательный результат не зависит от того, в каком порядке пробегает вектор состояния два угла (ALPHA|,
1 ALPHA|) вдоль окружности. Суммарный угол в любом случае
2 равен ALPHA| + ALPHA| = ALPHA| + ALPHA|.
1 2 2 1
Совершенно иная ситуация возникает при вращении в
N сферах S| (N≥2) высших размерностей. В этом случае суммарное вращение зависит от порядка, что символически можно записать в форме ALPHA| + ALPHA| = ALPHA| + ALPHA|.
1 2 2 1 Подобное различие в свойствах коммутативности обуславливает кардинальную разницу между уравнениями электродинамики и
1 уравнениями Янга — Миллса. Поэтому включение окружности S| в
