Понятие интеграла Лебега не относится к тем, которые легко можно объяснить неспециалисту, но, поскольку оно очень важно для дальнейшего содержания этой книги, я все же постараюсь если не изложить его во всей полноте, то хотя бы дать представление о том, что это такое. Каждому ясно, что значит измерить длину отрезка прямой линии или площадь, ограниченную окружностью или какой-нибудь другой гладкой замкнутой кривой. В тех случаях, однако, когда требуется как-то измерить длину (или площадь, или объем) множества точек, причудливым образом разбросанных по бесконечному числу отрезков, или каких-то кусочков плоскости или пространства, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, или тем более в случаях, когда наше множество точек является столь сложным, что даже приведенное выше довольно запутанное объяснение не описывает его строения, наглядные представления о длине, площади и объеме отказываются служить, и для точного определения соответствующих понятий приходится привлекать довольно абстрактные формальные математические рассуждения. Интеграл Лебега как раз и является инструментом, созданным для измерения сложных точечных множеств подобного рода.
Измерение объемов (или площадей, или длин) сложных областей неправильного строения совершенно необходимо для теории вероятностей и математической статистики; что касается меня, то уже в те далекие годы перед первой мировой войной мне казалось, что этим двум тесно связанным между собой разделам в дальнейшем предстоит завоевать многие области физики. Эти дисциплины были расположены на «ничьей земле» между физикой и математикой. Как раз в таких промежуточных областях, лежащих на стыке нескольких наук, я сделал свои самые крупные открытия; по-видимому, это было связано с тем, что работа такого рода наиболее соответствует главным особенностям моей натуры.
На самом деле теория вероятностей и математическая статистика в какой-то мере предвосхитили основные тенденции развития современной математики в том отношении, что они органически опираются на физические представления и в этом смысле непосредственно зависят от понятий меры и вероятности, разъясненных на физическом языке в статистической механике замечательного американского ученого Джозайи Уилларда Гиббса. В дальнейшем рассмотрение вопросов, связанных с развитием математических идей в направлении их применения к решению конкретных физических задач окружающего нас реального мира, будет основной темой настоящей книги.
