Это соблазнительное отношение к математическим постулатам как к предположениям, произвольно устанавливаемым исследователем в зависимости от решаемой задачи, а не как к неизменным законам мышления постепенно стало обычным для математиков во всех странах. В Америке одним из первых пропагандистов этой точки зрения и, пожалуй, главным из ее ранних сторонников был Эдвард В. Хантингтон из Гарвардского университета; я учился вместе с ним в 1912 году, и он оказал большое влияние на мой образ мыслей.
В Англии главным постулационистом был, вероятно, Уайтхед, но он соединял с чистым постулационизмом представление о том, что изучаемые математикой объекты сами представляют собой некоторые логические конструкции, а не просто какие-то величины, описываемые совокупностью постулатов. Например, точки он иногда рассматривал как совокупность всех тех выпуклых фигур, про которые обычно говорят, что они содержат данную точку. Любопытно отметить, что аналогичные идеи независимо высказывал и Хантингтон и что важное исследование в этом направлении еще на несколько лет раньше было выполнено философом Джосайей Ройсом[26]. Но классическим примером конструкционализма в математике остается определение целых чисел, данное Уайтхедом и Расселом в «Принципах математики».
Различие между постулационистской трактовкой чисел и конструкционалистской трактовкой, предложенной Уайтхедом и Расселом, заключается в следующем. Для постулациониста числа являются некоторыми неопределяемыми объектами, связанными совокупностью принятых формальных отношений, или предметами особого рода, строящимися на основе нашего опыта при помощи определенных правил комбинирования данных более простых исходных опытов. При постулационистской трактовке числа являются просто объектами, связанными отношениями «перед» и «после» так, что если a находится перед b, а b перед c, то a будет находиться перед c, и что для каждого числа, отличного от нуля, существует число, находящееся непосредственно перед ним (т. е. непосредственно ему предшествующее). Это и есть основные постулаты при таком подходе к числовой системе.
При конструкционалистской трактовке чисел сперва вводится понятие единичного множества — такой совокупности объектов, что, взяв любой из них, мы будем иметь тот же самый объект. Число «один» после этого служит для обозначений совокупности всех единичных множеств. Диадой далее называется совокупность объектов, не являющаяся единичным множеством, но становящаяся единичным множеством после удаления из нее любого из входящих в нее объектов. Тогда число «два» — это совокупность всех диад. После этого триада определяется как совокупность объектов, не являющаяся ни единичным множеством, ни диадой, но превращающаяся в диаду, при удалении любого из входящих в нее объектов, а число «три» — как совокупность всех триад. Подобным образом при помощи процесса, называемого процессом математической индукции, может быть построено полное множество всех положительных целых чисел.
