[25].
Собственно, теперь я мог бы уже приступить к описанию конгресса, но, прежде чем рассказывать о событиях, происходивших в Страсбурге летом 1920 года, мне хотелось бы остановиться на смысле терминов «постулационизм» и «конструкционализм». Достоинства и недостатки этих двух школ до сих пор являются предметом многочисленных споров в математике. Не мудрено, что в Страсбурге эта проблема доставила мне множество волнений.
Греческая геометрия исходит из некоторых основных предположений, называемых аксиомами или постулатами; эти предположения рассматриваются как простейшие бесспорные законы логики и геометрии. Некоторые из них имеют в основном формально-логический характер, вроде аксиомы о том, что две величины, равные одной и той же третьей величине, должны быть равны между собой. Другие описывают пространственные отношения, как, например, аксиома параллельности, утверждающая, что через каждую точку Р плоскости, не лежащую на заданной в той же плоскости прямой l, проходит одна и только одна прямая, не пересекающая l, которая и будет параллельна l.
Этот последний постулат не обладает самоочевидностью чисто логических постулатов математики. Целые поколения ученых всячески пытались доказать, что он не может нарушаться. В XVIII столетии итальянский математик Саккери потратил много усилий на исследование различных следствий, получающихся при отказе от аксиомы о параллельности, в надежде, что при этом он рано или поздно придет к какому-либо логическому противоречию. Саккери проделал интереснейшую работу и нашел множество новых форм аксиомы о параллельности, но все его усилия оказались тщетными. Чем более он старался найти противоречия среди следствий из отказа от этой аксиомы, тем более содержательной становилась совокупность фактов, получающаяся при таком отказе. Эта все возрастающая совокупность фактов постепенно приобретала характер геометрии, страшно причудливой по сравнению с обычной геометрией Евклида, но тем не менее внутренне нисколько не противоречивой.
Наконец, в начале XIX столетия целая группа ученых — венгерский математик Янош Больяй, русский математик Лобачевский и великий немецкий математик Гаусс — пришла к смелому заключению о том, что отказ от аксиомы о параллельности вообще не приводит ни к какому противоречию, а означает только переход к новой, неевклидовой геометрии. Начиная с этого времени, все более и более росло понимание того, что так называемые постулаты геометрии, а также постулаты других математических дисциплин вовсе не являются непререкаемыми истинами. К ним начали относиться как к предположениям, которые можно принять или отвергнуть в зависимости от особенностей изучаемой математической системы.
