Идеи Гиббса не случайно произвели на меня такое сильное впечатление. Как раз перед моим первым учебным семестром в МТИ д-р И. Барнетт из Цинциннати[20] перешел на работу в Кембридж, и мы с ним оживленно обсуждали различные математические и нематематические вопросы. Мне предстояло впервые вести самостоятельную научную работу, и я как-то не знал, на чем сосредоточить свои усилия. Я попросил Барнетта указать мне какую-нибудь симпатичную задачу, над которой еще никто не работал. Он сказал, что имеется огромное поле деятельности, связанное с обобщением понятия вероятности на ситуации, где «возможные состояния» не могут быть представлены точками некоторой плоскости или области пространства, а имеют характер кривых, описываемых какими-нибудь движущимися объектами.
Примером задачи, в которой «возможные состояния» естественно представляются точками, является задача о распределении попаданий в мишень в случае, когда по мишени делается несколько выстрелов и нужно заранее указать вероятную кучность пулевых отверстий. С другой стороны, в задаче о разлетающихся из улья пчелах или, еще лучше, о походке пьяного человека, направление каждого последующего шага которого никак не связано с предыдущим, приходится говорить о вероятностях различных путей. Предположим, например, что наш пьяница находится в центре квадратного поля заданных размеров; как в таком случае рассчитать, сколько в среднем понадобится ему времени, чтобы выбраться с этого поля?
Эта задача о вероятностном расчете процессов, содержащих беспорядочные колебания, имеет определенное историческое значение. Начало XX века сопровождалось существенными изменениями в математике, отражающими новые, более сложные представления о внешнем мире. В XIX столетии основной интерес математики сосредоточивался на изучении точечных объектов и величин, зависящих от переменных, значения которых также являются точками. Новые концепции, возникшие в начале нашего века, ставили своей целью заменить точки траекториями точек, т. е. кривыми.
Любопытно, что корни этого нового подхода к математике можно найти еще в XIX и даже в XVIII столетиях — я имею сейчас в виду те разделы математики, которые касались так называемого вариационного исчисления. В первоначальном дифференциальном исчислении Ньютона и Лейбница рассматривались задачи на максимум и минимум, в которых искомый максимум или минимум имел характер вершины холма или дна чаши (немного более сложный, но родственный характер имеет также перевал в горном хребте). Что же касается вариационного исчисления, то здесь рассматриваются значительно более сложные задачи, типа задачи нахождения самого быстрого пути от одной точки до другой в области, в которой возможная скорость передвижения меняется от точки к точке. Иными словами, в этом случае также решаются задачи на максимум или минимум, но ответом является уже не точка, а кривая.
