На первый взгляд, составление подобной классификации множеств Жюлиа невозможно, так как считалось, что для этого нужно проанализировать все возможные точки всех возможных множеств Жюлиа для каждого параметра с, которых бесконечно много. Однако Мандельброт использовал теорему, которую независимо друг от друга доказали Жюлиа и Фату примерно в 1919 г. Согласно этой теореме, орбита точки 0 определяет, является ли множество Жюлиа связным или нет. В частности, эта теорема подтверждает, что если орбита этой точки уходит в бесконечность, то множество Жюлиа несвязное; в противном случае множество Жюлиа является связным. Эта теорема имеет огромное значение, так как теперь достаточно выполнить итерацию для единственной точки z>0 = (0,0), чтобы определить природу множества Жюлиа.
Это очень точный и удобный способ выяснить, является ли множество Жюлиа связным. Но когда можно считать, что орбита точки (0, 0) уходит в бесконечность? Это нам уже известно: орбита уходит в бесконечность, если в какой-то момент она выходит за пределы окружности радиуса 2 и радиуса, равного |с|.
Мандельброт использовал это свойство, чтобы определить значения константы с, для которой множества Жюлиа являются связными. Когда он изобразил полученный набор значений с на комплексной плоскости, то увидел удивительную фигуру.
Грубо говоря, множество Мандельброта можно считать кардиоидой (кривой в форме сердца), которой касается бесконечное множество окружностей, среди которых выделяется одна наибольшего размера, расположенная слева от кардиоиды. При увеличении этой окружности становится видно, как она соединяется нитями с другими «аналогичными» структурами. Хотя кажется, что повсюду разбросаны отдельные точки, никак не соединенные друг с другом, в действительности множество Мандельброта является связным.
Множество внутренних точек этого множества имеет размерность 2. Несмотря на то что топологическая размерность границы множества Мандельброта равна единице, в 1991 г. японский математик Мицухиро Шишикура доказал, к удивлению многих, что ее размерность Хаусдорфа равна двум[23].
Если внимательно изучить последовательность кругов все меньшего диаметра, которые расположены вдоль горизонтальной оси, можно заметить следующее правило: отношение диаметров соседних кругов стремится к константе, примерно равной 4,6692… Это значение, которое называется постоянной Фейгенбаума, фигурирует в описании множества природных явлений. Причины этого до сих пор неясны.
