Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 59
Кривая Коха, о которой мы рассказали в прошлой главе, обладает свойством самоподобия, так как состоит из нескольких (четырех) частей, подобных всей кривой в целом. Чтобы получить первую часть кривой (расположенную слева), нужно всего.\ишь уменьшить всю кривую в три раза и совместить левый конец кривой с левым концом полученной уменьшенной копии.
Чтобы получить вторую часть, нужно опять-таки уменьшить всю кривую в три раза, повернуть ее на 60° относительно горизонтальной оси и совместить ее левый конец с правым концом первой части кривой. Здесь мы используем параллельный перенос, сжатие и поворот — все эти преобразования являются преобразованиями подобия.
Можно выполнить аналогичные действия и с треугольником Серпинского. Нам не понадобится использовать поворот, достаточно параллельного переноса и уменьшения в три раза. Это же справедливо и для канторова множества (называемого также канторовой пылью), ковра Серпинского, губки Менгера и кривой дракона.
Добавим к повороту и симметрии два новых преобразования: одно из них позволяет изменять ширину и высоту фигуры в разных пропорциях, другое — поворачивать оси координат на разные углы. Получим множество преобразований, которые называются аффинными преобразованиями плоскости. Первое из этих двух преобразований позволяет трансформировать квадрат в треугольник, а с помощью второго, которое называется сжатием, можно превратить квадрат в ромб. Фрактальные структуры, которые можно получить с помощью подобных преобразований, называются самоаффинными. К ним относится очень известный «папоротник Барнсли», открытый британским ученым Майклом Барнсли. Можно заметить, что для его построения требуется четыре аффинных преобразования, одно из которых заключается в сжатии по ширине до нуля (так формируется стебель), второе, примененное трижды, — комбинация сжатия и поворота (представлено на рисунке), с помощью которого получаются ветви.
Папоротник Барнсли и его различные аффинные преобразования.
Используя эти преобразования, можно построить множество различных фракталов, которые называются линейными фракталами или системами итерируемых функций (от английского IFS — Iterated Function Systems). Эти системы получаются путем применения ряда преобразований к некоему множеству. Согласно формулировке, введенной Барнсли в книге «Фракталы повсюду», система итерируемых функций — это система функций, задающих определенное преобразование, которое затем выполняется на протяжении множества итераций. Результатом применения этих преобразований является так называемый аттрактор. Другими словами, аттрактор системы итерируемых функций — это форма, к которой стремится фрактал, когда указанные преобразования повторяются достаточно большое число раз. Может показаться удивительным, но аттрактор не зависит от изначально выбранной исходной фигуры, на которой строится фрактал. Все фракталы, о которых мы рассказали в этой книге, можно построить, используя это множество преобразований.
