Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 20
по диагонали (см. диаграмму ниже), чтобы получить последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8 и т. д.).
Простые числа в последовательности Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи наполнена удивительными свойствами. Например, члены последовательности, которые являются простыми числами, могут занимать место, номер которого также является простым числом. Однако обратное не всегда верно. Например, на месте с номером n = 19 (простое число) стоит число а>n = 4181 = 37∙113 (т. е. не являющееся простым).
Продолжая тему простых чисел в последовательности Фибоначчи, мы можем высказать предположение, которое до сих пор не доказано: последовательность Фибоначчи содержит бесконечное количество простых чисел. В настоящее время неизвестно, является это предположение истинным или ложным.
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Число, которое делится только на себя и на единицу, называется простым. Если число имеет другие делители, кроме этих двух, оно называется составным. Например, числа 7, 13 и 23 — простые; число 32 (делящееся на 2,4,8 и 16) является составным. Любое число можно представить в виде произведения простых чисел.
Глава 2
«Золотой» прямоугольник
Из предыдущей главы мы узнали, как традиционно определяется золотое сечение: отрезок прямой линии делится в крайнем и среднем отношении, если длина всего отрезка относится к большей части так, как большая часть — к меньшей. Другими словами, целое относится к большей части как большая часть к меньшей. Теперь давайте посмотрим, как можно использовать крайнее и среднее отношение для деления на части различных фигур.
Деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Имеется отрезок АВ длины а. Мы хотим найти точку X, которая делит отрезок на две части в отношении Ф. Это деление выполняется в три этапа:
а) построим прямоугольный треугольник с катетами а и а/2 (половина длины а);
б) проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СВ (равным а/2). Эта дуга пересекает сторону АС в точке S;
в) затем проведем еще одну дугу окружности с центром в точке А и радиусом AS, которая пересекает сторону АВ в точке X. Эта точка X удовлетворяет условию АХ = х = АС — (а/2) и, следовательно, является искомой точкой. Также мы можем проверить, что выполняется условие АХ/ХВ = Ф.
Этот подход называется методом построения. Почему он дает нам золотое сечение? Точка X будет искомой точкой, если она удовлетворяет условию:
АВ/АХ = АХ/ХВ
а/х = х/(а — х)
х∙х = а∙(а — х)
х>2 — а>2 — ах
х>2 + ах =
