Следовательно, именно в началах арифметики мы должны надеяться найти искомое объяснение; но как раз в доказательстве наиболее элементарных теорем авторы классических сочинений обнаружили меньше всего точности и строгости. Не надо ставить им это в вину; они подчинялись необходимости; начинающие не подготовлены к настоящей математической строгости; они усмотрели бы в ней только пустые и скучные тонкости; было бы бесполезной тратой времени пытаться скорее внушить им большую требовательность; надо, чтобы они быстро, без остановок, прошли путь, который некогда медленно проходили основатели науки.
Почему же нужна столь продолжительная подготовка, чтобы привыкнуть к этой совершенной строгости, которая, кажется, должна была бы быть от природы присущей всякому нормальному уму? Это логическая и психологическая проблема, которая достойна обсуждения.
Но мы не будем останавливаться на ней; она является посторонней для нашего предмета. Я буду лишь помнить, что нам надо, из опасения не достигнуть цели, привести заново доказательства наиболее элементарных теорем и вместо той грубой формы, которую им придают, чтобы не утомить начинающих, придать такую, которая может удовлетворить ученого-математика.
Определение сложения. Я предполагаю, что предварительно была определена операция x + 1, состоящая в прибавлении числа 1 к данному числу x. Это определение, каково бы оно ни было, не будет играть никакой роли в последующих рассуждениях.
Дело идет теперь об определении операции x + a, состоящей в прибавлении числа a к данному числу x.
Предположим, что определена операция
Тогда операция x + а будет определена равенством
x + а = [x + (а − 1)] + 1. (1)
Таким образом, мы узнаем, что такое x + а, когда будем знать, что такое x + (а − 1); а так как я вначале предположил, что известно, что такое x + 1, то можно определить последовательными «рекурренциями» операции x + 2, x + 3 и т. д.[2]
Это определение заслуживает некоторого внимания, так как оно имеет особенную природу, отличающую его от определения чисто логического; в самом деле, равенство (1) содержит бесчисленное множество различных определений, и каждое из них имеет смысл только тогда, когда известно другое, ему предшествующее.
Свойства сложения. Ассоциативность. Я утверждаю, что
а + (b + с) = (а + b) + с.
В самом деле, теорема справедлива для c = 1; в этом случае она изображается равенством
а + (b + 1) = (a + b) + 1.
А это – помимо различия в обозначениях – есть не что иное, как равенство (1), при помощи которого я только что определял сложение.
