θ; но я могу ввести условное положение – могу допустить, что эта вероятность равна φ(θ)
dθ; что касается функции φ(θ), то я могу выбрать ее вполне произвольно, нет ничего, что могло бы руководить мной в этом выборе; однако я, естественно, буду предполагать эту функцию непрерывной.
Пусть ε – длина (она считается по окружности радиуса, равного единице) каждого красного или черного деления. Надо вычислить интеграл от φ(θ)dθ, распространяя его, с одной стороны, на все красные деления, с другой – на все черные, и затем сравнить полученные результаты.
Рассмотрим промежуток 2ε, заключающий одно красное деление и следующее за ним черное. Пусть М и m – наибольшее и наименьшее значения функции φ(θ) в этом промежутке. Интеграл, распространенный на красные деления, будет меньше Σmε; интеграл, распространенный на черные деления, будет больше Σmε; следовательно, разность их будет меньше Σ(М − m)ε. Но если функция φ предположена непрерывной, если, с другой стороны, промежуток ε очень мал сравнительно с полным углом, описанным стрелкой, то разность М − m будет крайне мала. Поэтому и разность двух интегралов будет очень мала и вероятность будет очень близка к 1/2.
Всякому понятно, что, не зная ничего о функции φ, я должен действовать так, как если бы вероятность была равна 1/2. Ясно, с другой стороны, что если, становясь на объективную точку зрения, я буду наблюдать известное число выпадений, наблюдение даст мне приблизительно столько же выпадений черного, сколько и красного. Все игроки знают этот объективный закон, но он вовлекает их в одну странную ошибку, которая им часто указывалась, но в которую они всегда впадают снова. Когда красное выпало, например, шесть раз подряд, они ставят на черное, рассчитывая на верный выигрыш; ведь очень редко бывает, говорят они, чтобы красное выпадало семь раз подряд.
В действительности вероятность выигрыша и в этом случае остается равной 1/2. Правда, наблюдение показывает, что серии из семи последовательных красных крайне редки; но серия из шести красных, за которой следует один черный, является столь же редкой. Им бросилась в глаза редкость серий из семи красных; но они не обращали внимания на редкость серий из шести красных и одного черного единственно потому, что подобные сочетания меньше поражают внимание.
V. Вероятность причин. Я перехожу к проблемам вероятности причин – проблемам, наиболее важным с точки зрения их применений в науке. Пусть, например, две звезды расположены на небесной сфере очень близко друг к другу. Не является ли эта видимая близость результатом простой случайности, и не находятся ли эти звезды – хотя они расположены почти на одном и том же луче зрения – на очень различных расстояниях от Земли, а следовательно, на значительном отдалении одна от другой? Или мы имеем здесь действительную близость? Вот это и есть проблема вероятности причин. Прежде всего я напомню, что всякий раз, обсуждая проблемы вероятности событий, которыми мы занимались до сих пор, мы всегда должны были выдвигать некоторое условное положение, более или менее оправдываемое. И если чаще всего результат был в известной мере независим от этого условного положения, то это лишь в силу известных гипотез, которые позволили нам a priori отбросить, например, разрывные функции или некоторые нелепые соглашения.
