Или, если желаете, напишем 10 000 чисел, по количеству наших логарифмов; каждое из этих чисел пусть равно +1, если третий десятичный знак четный, и −1 в обратном случае. Возьмем затем среднюю величину из этих 10 000 чисел. Я не затруднюсь сказать, что эта средняя величина, вероятно, равна нулю; если бы я произвел вычисление в действительности, я убедился бы, что она очень мала.
Но эта проверка даже бесполезна. Я мог бы строго доказать, что это среднее меньше 0,003. Чтобы установить этот результат, мне пришлось бы привести довольно длинное вычисление, для которого здесь мало места, и поэтому я ограничусь ссылкой на статью, опубликованную мною в «Revue générale des Sciences» 15 апреля 1899 г. Единственный пункт, на который я должен обратить внимание, следующий: в этом вычислении я опирался только на два факта, а именно, что первая и вторая производные логарифма в рассматриваемом промежутке остаются заключенными в известных пределах.
Отсюда первое следствие: что это свойство справедливо не только для логарифма, но для какой угодно непрерывной функции, так как производные всякой непрерывной функции заключены в определенных пределах.
Если я уже заранее был уверен в результате, то это прежде всего потому, что я часто замечал аналогичные факты для других непрерывных функций; затем потому, что я – более или менее бессознательно и несовершенно – провел в уме рассуждение, которое привело меня к предыдущим неравенствам, подобно тому как опытный вычислитель, не доведя до конца умножения, соображает, что «получится приблизительно столько-то».
И кроме того, так как то, что я назвал бы моей интуицией, есть лишь несовершенный образ истинного рассуждения, то, как выяснилось, наблюдение подтвердило мои догадки, и объективная вероятность оказалась в согласии с вероятностью субъективной.
В качестве третьего примера я выберу следующую проблему: пусть число u взято наудачу, n – данное очень большое целое число; каково вероятное значение sin nu? Эта проблема сама по себе не имеет никакого смысла. Чтоб придать ей смысл, необходимо условное допущение: мы условимся, что вероятность того, что число u заключено между а и а + da, равна φ(a)da; что она, следовательно, пропорциональна величине бесконечно малой разности da и равна этой величине, умноженной на функцию φ(а), зависящую только от а. Что касается этой функции, то я выбираю ее произвольно, но надо предположить ее непрерывной. Так как значение sin
