Правила счета элементов бесконечного множества | страница 34

Обычно бесконечно малые величины в алгебре характеризуются параметром порядка малости. Если две величины имею отношение конечной величины, то они считаются величинами одного порядка малости. Если отношение стремится к бесконечности, то величины имеют разный порядок малости. С учетом этого следует предположить, что стереографическая проекция окружности на плоскость некорректна, а проекциями её точек фактически являются плоские фигуры, отрезки.

Рассмотрим эту же ситуацию с другой точки зрения, не отождествляя дугу окружности и прямой отрезок. Для этого нам понадобится следующее интересное соотношение, теорема. Если к отрезку дуги провести по два луча из центра окружности (рис.4) и из любой точки окружности, кроме точек этой дуги, то угол между лучами в первом случае будет в два раза больше угла между лучами во втором случае. Приведем краткое доказательство этой теоремы.

Рис.4. Теорема об углах на дуге окружности

Итак, возьмем на окружности рис.4 некоторую произвольную дугу CB и проведем к ней две пары лучей – из центра и из полюса О. Проведем далее вспомогательный диаметр BD и линию CD. Обозначим одинаковыми буквами равные углы в равносторонних треугольниках у равных сторон. По условиям задачи нам задан некий центральный угол a. Докажем, что а = 2x. Из построений на рисунке видим:

Угол при вершине штрихового треугольника:

Углы при основании равностороннего треугольника.

Углы при основании равностороннего треугольника с искомым углом:

Составляем баланс углов в треугольнике с искомым углом x:

Подставляем условно известное значение угла f:

Раскрываем скобки

Подставляем значение заданного угла а

Упрощаем выражение

Что и требовалось доказать.

Согласно этой теореме, на рис.3 длина дуги окружности в пределах угла α равна 2αR, поскольку угловая величина дуги равна 2α. Длину линии проекции a в основании проекционного угла найдем как разницу сторон двух прямоугольных треугольников:

Отсюда находим величину а:

Как и выше, найдем отношение длины отсекаемой на окружности дуги к длине этого отрезка:

Найдем предел этой величины, когда каждый из углов стремится к нулю. В этом случае обе проекционные линии сблизятся до слияния, а их средняя линия будет стремиться к горизонтальному положению:

В общем случае мы получаем неопределенность, поскольку к нулю стремятся и числитель и знаменатель. Поэтому мы поступим следующим образом. Найдем эти пределы для нескольких конкретных значений среднего проекционного угла φ. В этом случае неопределенность не устраняется, но мы табличным методом построим соответствующие графики, которые визуально продемонстрируют наличие конечных пределов. Табличные значения сходятся удовлетворительно быстро, поэтому в пределах точности приложения Excel были получены следующие значения пределов для произвольно взятых значений угла φ: