и
площадку, бесконечно малый квадрат. Размеры точек на линии и точек, площадок на квадрате разные, хотя и те и те бесконечно малы.
Конечно, для отождествления это не является противоречием. Мы можем, например, отождествить 10 яблок и 10 уток. Или 200 кресел в кинотеатре и 200 зрителей. Но при этом следует помнить, что равны не они сами по себе, а их количества. В доказательстве Кантора, вроде бы, так и говорится, что равны мощности, равны количества. Однако преподносится это так, что создается впечатление, будто эти сравниваемые множества равны не только по своим количествам, мощности, но и равны буквально – точка на линии тождественно равна точке на квадрате. При таком подходе можно отождествить любые бесконечности, просто отбросив их качество и оставив лишь безликое количество. Все зависит только от искусства отождествителя. Приведём простой пример.
Точки любой линии на плоскости характеризуются двумя координатами. Точно так же и в рассмотренном примере все точки линии имеют две координаты, одна из которых просто равна нулю. Теперь становится ясным, почему мы обратили внимание на замечание "для простоты мы не берем". На самом деле в таком упрощении преследовалась цель упростить организацию подмены понятий. Ведь если у линии признать наличие имеющейся на самом деле второй координаты, то и для неё пришлось бы также формировать комбинированное число – индекс. Действительно, если вернуть в рассмотрение и стороны квадрата, то одна из них совпадет с отождествляемой линией. В этом случае надо было бы веско обосновать, почему координаты нижней стороны квадрата преобразуются в число z, а линия, полностью совпадающая с этой стороной, по-прежнему описывается одной координатой, хотя у неё однозначно имеется и вторая, нулевая?
Ясно, что разумные обоснования этого просто невозможны. Если же вернуть линии её законные права на вторую, нулевую координату, то все её собственные числа z будут начинаться с нулевого знака. То есть, с линией можно будет отождествить только одну единственную линию квадрата – его нижнюю сторону. Соответственно, мощность множества точек линии окажется меньше мощности точек квадрата в счетное число раз, то есть, в бесконечное. Мощность множества точек квадрата имеет более высокий порядок. Просто результат зависит от способа подсчета и может быть на любой вкус. Два способа мы уже увидели. Рассмотрим еще один.
Рассмотрим эти два объекта в единой метрической системе единиц, в которой размер точки квадрата равен размеру точки линии. Это естественное разумное предложение: бессмысленно приравнивать, скажем, два
