Правила счета элементов бесконечного множества | страница 21
Таким образом, вывод о несчетности вариантов, номеров комнат является ошибочным. Похоже, что и в управлении космических гостиниц тоже не нашлось грамотного программиста или математика, которые могли бы объяснить директору ошибочность вывода о неполноте списка, и что пари выиграл именно он, директор.
Счетность всех мыслимых видов чисел
Теперь еще раз обратимся к утверждению о несчетности континуума. Действительные числа являются лишь частью ряда возможных чисел, включающих в себя вещественные, комплексные, кватернионы, гиперкомплексные, поличисла (коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа), разнообразные многомерные и любые иные виды чисел. Здесь нас не должны интересовать алгебры этих чисел и их свойства. Единственное не обязательное условие – это конечная длина записи числа. То есть, запись числа в виде бесконечного ряда коэффициентов мы пока оставим без внимания, указав, что задача решается так же – предельным переходом.
Все мыслимые числа в общем виде можно записать, например, в следующем виде
где
α – любое вещественное число;
С – любой индекс, например, мнимая единица i.
Например, число может иметь вид a = 2,71828… –действительное число, или a = 3+2i – комплексное число, или a = 5+2i+3j+8k – кватернион. Правильно организованный способ подсчета этих чисел позволяет показать счетность всего их ряда. Вообще-то, такой результат является простым следствием принятого способа подсчета. На классический вопрос "сколько будет дважды два?" известен шутливый ответ: а сколько надо? По большому счету, всё сводится к спору о том, какой способ подсчета лучше или правильнее. Рассмотрим следующий способ записи всех действительных чисел: запишем после запятой все последовательные натуральные числа "задом наперед", а до запятой – в каждом ряду возрастающие натуральные числа на всём числовом диапазоне. Возникает, например, такой фрагмент последовательности действительных чисел:
Последовательность чисел в таблице будет содержать все без исключения числа. Собственно правило формирования чисел имеет простое аналитическое выражение, подобное (3) или (6). Возьмем два натуральных числа m и n, изменяющиеся от 0 до бесконечности. Запишем с их помощью некоторое число в виде
Здесь запись {0,m} означает число, меньшее единицы, дробной частью которого является натуральное число m. Фактически при табличной записи чисел n является номером строки в таблице, а m – номером колонки. Например, в ячейке (n=3; m=5) будет находиться число:
