каждое из двух составляющих его предложений: если первое истинно, то и каждое из двух других истинно. Следовательно, существуют умозаключения, правильность которых основывается лишь на вышеприведенных словах-связках (которые обычно называются
пропозициональными связками). Наиболее распространенная форма умозаключения выглядит следующим образом (греческими буквами ϕ и φ обозначаются любые предложения):
ϕ, то φ; ϕ значит φ
Аристотель не принял в расчет этот уровень логики, тогда как стоики его систематически исследовали. Однако их работы, посвященные этому вопросу, были оставлены без внимания, а то и вовсе забыты, вследствие чего традиционная логика ограничилась в основном силлогистикой, безуспешно пытаясь изучать в ее рамках крайне немногочисленные умозаключения, наподобие тех, о которых только что упоминалось. В скором времени нам представится возможность подробнее разобрать ряд особенностей этой «пропозициональной логики», которые выявил и философски осмыслил Витгенштейн в «Трактате».
В целом, искусственный язык логики, который были вынуждены создать Фреге с Расселом, можно представить следующим образом.
В качестве исходной точки мы возьмем элементарные предложения, например: «Поль добрый», «Тулуза находится южнее Парижа», «Жюльену Матильда нравится больше, чем мадам де Реналь», «Помпиду приходится де Голлю тем же, кем Наполеон III приходится Наполеону I» и т. д. Как мы видим, эти предложения имеют формы R1(a), R2(a, b), R3(a, b, c), R4(a, b, c, d) и т. д. Из этих элементарных предложений можно образовать новые предложения двумя способами.
Прежде всего, мы можем соединить элементарные предложения посредством пропозициональных связок и таким образом получить предложения, которые именуются молекулярными, например: «Если Тулуза находится южнее Парижа, то Поль добрый», или «Поль добрый, и Жюльену Матильда нравится больше, чем мадам де Реналь», и т. д. Формы этих предложений таковы: если p, то q и p и q. Буквы p и q обозначают элементарные предложения.
Кроме того, из элементарного предложения можно получить общие предложения типа: «при любом х Жюльену х нравится больше, чем мадам де Реналь», или «существует по крайней мере один х, такой, что Жюльену Матильда нравится больше, чем х», или «при любом х существует по крайней мере один y, такой, что х приходится у тем же, кем Наполеон III приходится Наполеону I», и т. д. Общее предложение получают из элементарных предложений посредством подстановки имен собственных, присутствующих в элементарном предложении, на места переменных и добавления в начале предложения выражений («кванторов»): «при любом
