Те, кто еще не забыл уроки старших классов (или, скажем, все еще учится в школе), вероятно, знают, что число Мерсенна не относится к простым, если простым числом не является его степенной показатель. Дело в том, что в этом случае такое число всегда можно разложить на два сомножителя. Механизм, лежащий в основе этого правила, любезно вызвалось проиллюстрировать на собственном примере число 2>6 – 1:
2>6 – 1 = 2 >2 × 3 – 1 = (2² – 1) (2 >4 + 2 ² + 1) = 3 × 21[18].
Другими словами, если степенной показатель – составное число, то соответствующее число Мерсенна всегда можно разложить на множители, что доказывает, что и оно будет числом составным. Для его разложения есть общая формула:
2>n >· >m – 1 = (2>n – 1) (1 + 2>n + 2²>n + … + 2>(>m> – 1) · >n).
Если эта формула не кажется вам особенно интересной, не беспокойтесь. Собственно говоря, сама формула не столь важна. Важен тот факт, что если в степенном показателе стоит не простое число, то и число Мерсенна с этим показателем не будет простым. Но если составной показатель гарантирует составное число Мерсенна, дальше, несомненно, естественно задать следующий вопрос: «Гарантирует ли простой показатель, что число Мерсенна будет простым?»
Попробуем проверить.
2² – 1, 2³ – 1, 2>5 – 1 и 2>7 – 1 – числа простые (соответственно 3, 7, 31 и 127). Пока что все хорошо. Сле- дующее простое число после 7 – это 11, но 2>11 – 1 – это не простое число: 2>11 – 1 = 2047 = 23 × 89.
Как ни печально, наличие простого числа в степенном показателе не гарантирует, что соответствующее число Мерсенна тоже будет простым числом. Будь это так, мы бы располагали простым способом находить все новые и новые простые числа. Например, можно было бы взять то колоссальное простое число, о котором мы говорили несколькими строчками выше, использовать его в качестве степенного показателя 2, вычесть единицу и получить новое – и еще более колоссальное – простое число. В его показателе стояло бы число, содержащее более 20 миллионов цифр. Подумайте только, каким ужасающе огромным было бы это число – оно выходило бы за пределы воображения простых смертных. Простое ли это число на самом деле? Я этого не знаю и не думаю, что когда-нибудь узнаю.
Мерсенн исследовал эти числа, носящие теперь его имя, в работе, опубликованной в 1644 г. Она вышла под величественным заголовком «Физико-математические размышления» (Cogitata Physico-Mathematica). Мерсенн проверил все простые степенные показатели до 257 и заключил, что числа вида 2
