Организация параллельных потоков. Часть 1 | страница 11

Грубые, предварительные, приблизительные оценки нужны для того, чтобы выявлять ещё более грубые ошибки. Например, если перепутали в расчётах плюс с минусом. Или не в ту степень число возвели.

Задание. Оцените среднее значение подынтегральной функции по графику f (x).

Задание. Сделайте грубую, предварительную оценку значения своего интеграла.

Вначале определим точное теоретическое значение интеграла. Для этого найдем решение аналитически (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Аналитическое решение

Здесь нам потребуется найти первообразную F (x) для подынтегрального выражения f (x). Это функция F (x), производная которой даёт нам f (x), см. рис. 6.5.

Рис. 6.5. Нахождение первообразной

Далее находим разность значений первообразной на границах B и A:

S = F (20) — F (-20) = 9066,67

Расчёты можно сделать в пакете Excel (рис. 6.6).

Полученное значение очень близко к нашей грубой оценке 8000. Оба числа близки к 10000. Это и есть ПОРЯДОК величины. Разница не в десять раз. И даже не в два раза, а гораздо меньше. Похоже, что грубых оценок в наших аналитических выкладках не было.

Рис. 6.6. Аналитическое решение

Далее наши приближённые численные решения будем сравнивать с этим теоретическим значением.

Задание. Определите значение своего интеграла аналитически и сравните его с предварительной грубой оценкой.

Численные методы используют приближённую замену сложной функции более простыми. В методе прямоугольников мы заменяем подынтегральную функцию на несколько смежных прямоугольников.

Диапазон значений аргумента (пределы интегрирования) мы разбиваем на некоторое количество отрезков одинаковой длины. Высота каждого прямоугольника равна значению подынтегральной функции в середине отрезка (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Метод прямоугольников

Значение определённого интеграла равно площади под графиком функции. Эту площадь мы приближённо оцениваем как сумму площадей прямоугольников.

Основания всех прямоугольников основания равны. Поэтому мы можем вначале сложить все значения функции, а затем умножить эту сумму на длину отрезка.

Для данного эксперимента мы используем вещественный тип float.

Задание. Составьте последовательную программу численного интегрирования, указав 100 отрезков. Используйте тип float. Сравните полученный результат с теоретическим.

Задание. Подберите количество отрезков так, чтобы время выполнения программы составило от 10 до 20 секунд.