В поисках бесконечности | страница 20

Рис. 4

Итак, измеряя сумму углов треугольника, наблюдая за поворотом параллельных при переносе по замкнутому контуру, проверяя теорему Пифагора, жители планеты убедились, что они живут не на плоскости, а на какой-то искривленной поверхности. За меру кривизны некоторого участка поверхности они приняли угол поворота отрезка, параллельно перенесенного вдоль границы этого участка. Эту кривизну можно было считать и по-другому: разбить участок на треугольники и сложить избытки всех треугольников. Ведь, если два треугольника объединяются в один, то их избытки складываются.

Оказалось, что чем больше площадь участка, тем сильнее он искривлен. Точнее говоря, избыток любого треугольника оказался пропорционален его площади:

мы будем измерять углы не в градусах, а в радианах; при таком измерении сумма углов плоского треугольника равна π). Отсюда был сделан вывод, что кривизна поверхности на единицу площади всюду одна и та же. Число к и приняли за меру кривизны.

Но среди всех поверхностей есть только одна поверхность, для которой избыток треугольника на единицу площади всегда один и тот же — это сфера. Поэтому геометры Ялмеза установили, что они живут на сфере, а не на какой-нибудь другой поверхности. Без особого труда удалось даже найти радиус этой сферы. Ведь если число к не зависит от выбора треугольника, его достаточно подсчитать для одного треугольника. Возьмем, например, треугольник ABC на рис. 2, а. Его избыток равен 90°, или, в радианной мере, ^>π/_>2. Площадь же этого треугольника равна ^>1/_>8 площади сферы, то есть ^>πR2/_>2. Подставляя эти значения в формулу (1), получаем, что k = ^>1/_>R^>2, а потому для любого сферического треугольника

где α, β, γ — его углы, S — площадь и R — радиус сферы. Полученная формула позволяет определить радиус сферы путем измерения углов и площади треугольника. Разумеется, этот способ не очень удобен, так как требует весьма большой точности измерения углов. Для измерения радиуса Земли прибегли к иному способу — измерению длины дуги меридиана, что потребовало наблюдений за звездами.

Формула (1) определяет кривизну к поверхности сферы, отнесенную к единице площади. Как мы видели, она равна ^>1/_>R^>2. Иными словами, чем больше радиус сферы, тем меньше искривлен участок ее поверхности, имеющий единичную площадь; поверхность мяча искривлена гораздо больше, чем поверхность Земли.

Гаусс предложил таким же образом измерять кривизну любой поверхности. На любой поверхности можно строить геометрию точно так же, как и на поверхности сферы. Роль прямолинейных отрезков играют при этом кратчайшие (их еще называют геодезическими) линии, то есть линии, длина которых меньше длины всех остальных линий, соединяющих данные две точки. С ними впервые столкнулись геодезисты при измерении расстояний на поверхности Земли. К слову сказать, и сам Гаусс пришел к занятиям геометрией на поверхностях после того, как он в течение нескольких лет занимался геодезическими измерениями.