Например, когда Рассел пишет: «+ >c», «c» представляет собой индекс, который указывает, что данный знак есть дополнительный знак количественного числа. Но использование этого знака является результатом произвольной договоренности, и вполне возможно выбрать простой знак вместо «+>c»; но в выражении «~p» «p» является не индексом, а аргументом: смысл выражения «~p» нельзя понять до тех пор, пока нам неизвестен смысл «p». (В имени «Юлий Цезарь» индексом будет «Юлий». Индекс всегда часть описания объекта, к имени которого мы его прибавляем; в данном случае Цезарь из рода Юлиев.)
Если я не ошибаюсь, теория Фреге относительно значения суждений и функций основана на смешении аргументов и индексов. Фреге рассматривал логические суждения как имена, а их аргументы – как индексы этих имен.
5.1. Функции истинности могут организовываться в последовательности. Вот основа теории вероятности.
5.101.Функции истинности заданного числа элементарных суждений всегда можно отразить в схеме следующего вида:
(ИИИИ) (p, q) Тавтология (если p, то p, и если q, то q) (p ⊃ p × q ⊃ q)
(ЛИИИ) (p, q) Словами: Не p и не q вместе. [~ (p × q)]
(ИЛИИ) (p, q) Словами: Если q, то p. [q ⊃ p]
(ИИЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q. [p ⊃ q]
(ИИИЛ) (p, q) Словами: p или q. [p ∨ q]
(ЛЛИИ) (p, q) Словами: Не q. [~q]
(ЛИЛИ) (p, q) Словами: Не p. [~p]
(ЛИИЛ) (p, q) Словами: p или q, но не вместе.
[p × ~q: ∨: q × ~p]
(ИЛЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q, и если q, то p. [p ≡ q]
(ИЛИЛ) (p, q) Словами: p.
(ИИЛЛ) (p, q) Словами: q.
(ЛЛЛИ) (p, q) Словами: Ни p, ни q. [~p × ~q или p | q]
(ЛЛИЛ) (p, q) Словами: p, но не q. [p × ~q]
(ЛИЛЛ) (p, q) Словами: q, но не p. [q × ~p]
(ИЛЛЛ) (p, q) Словами: q и p. [q × p]
(ЛЛЛЛ) (p, q) Противоречие (p и не p, и q и не q).
[p × ~p. q × ~q]
Я назову основаниями истинности суждения те возможности истинности его истинностных аргументов, которые делают суждение истинным.
5.11. Если все основания истинности, общие какому-либо числу суждений, являются и основаниями истинного некоего конкретного суждения, мы говорим, что истинность этого суждения следует из истинности других.
5.12. В частности, истинность суждения «p» следует из истинности суждения «q», если все основания истинности последнего являются и основаниями истинности первого.
5.121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого: p следует из q.
5.122. Если p следует из q, значение «p» содержится в значении «q».
5.123. Если бог создает мир, в котором истинны некие суждения, тем самым он создает и мир, в котором будут истинны все суждения, следующие из первых. При этом он не может создать мир, в котором суждение «p» будет истинно, не создав все его объекты.
