Математики, однако, прекрасно понимают, что попытка показать при помощи построения кривых то, что каждая непрерывная функция имеет производную, по меньшей мере, наивна. Хотя дифференцируемые функции и являются самыми простыми, они все же представляют собой исключение. Говоря языком геометрии, кривые, не имеющие касательных, могут считаться правилом, в то время как правильные кривые — такие, например, как окружность — любопытным, но весьма частным случаем.
Изучение же общего случая представляется, на первый взгляд, остроумным, но совершенно искусственным упражнением для праздного интеллекта — этакое стремление к абсолютной точности, доведенное до абсурда. Те, кто впервые слышит о кривых без касательных или о функциях без производных, часто склонны полагать, что в Природе не существует ни подобных сложных конструкций, ни даже намека на них.
Это, однако, неверно — математики со своей логикой оказываются ближе к реальности, нежели физики с их практическими представлениями. В качестве иллюстрации к этому утверждению взглянем непредвзято на некоторые экспериментальные данные.
Возьмем, например, одну из белых чешуек, которые образуются при добавлении соли в раствор мыла. С некоторого расстояния может показаться, что чешуйка имеет четко очерченный контур, однако при более близком рассмотрении четкость исчезает. Мы больше не можем провести мысленно касательную к любой точке этого контура. Вполне удовлетворительная, на первый взгляд, линия оказывается либо перпендикулярной к границе, либо наклонной. Использование увеличительного стекла или даже микроскопа ничуть не уменьшает неопределенности — при каждом очередном увеличении возникают новые неправильности, и нам никак не удается получить такую же четкую и гладкую границу, как, например, у стального шарика. Таким образом, если считать последний классической иллюстрацией непрерывности, то на примере нашей чешуйки можно сформулировать более общее понятие непрерывной функции, не имеющей производной.»
Прервемся ненадолго, чтобы взглянуть на рисунки 25 и 26.
Здесь и далее черно-белые иллюстрации приводятся сразу же после соответствующей главы и нумеруются номерами страниц, на которых они расположены. Цветные иллюстрации собраны в отдельной вклейке, причем пояснения к этим иллюстрациям не связаны непосредственно с остальным содержанием книги.
Продолжим цитату.
«Не следует забывать о том, что данная неопределенность положения касательной в некоторой точке контура ни в коей мере не то же самое, что и неопределенность, наблюдаемая, скажем, на карте побережья Бретани. Хотя карта также будет изменяться в зависимости от масштаба, мы всегда сможем найти касательную, так как карта — это всего лишь условный рисунок. Напротив, существенным свойством нашей чешуйки, равно как и самого побережья, является следующее: можно только предполагать — так как увидеть этого мы не в состоянии, — что их границы в любом масштабе включают в себя такие детали, которые полностью исключают возможность существования какой-либо определенной касательной.
