При ретроспективном анализе истории обоснования математики выясняется, что наиболее фундаментальные ее проблемы возникали в связи с трудностями, которые появлялись по мере развития математики и были связаны с противоречиями в ее исходных абстракциях и теориях. Поскольку математика оперирует бесконечными множествами абстрактных объектов, постольку ее исходные понятия и теории опираются на различные абстракции математической бесконечности.
Абстракция потенциальной, или становящейся, бесконечности помогла преодолеть второй кризис в основаниях математики. Переход к абстракции актуальной бесконечности в теории множеств, в которой бесконечные множества уподобляются конечным множествам, привел к новым трудностям и к третьему кризису в основаниях математики, выход из которого сторонники математического интуиционизма и конструктивизма ищут в возврате к абстракции потенциальной осуществимости и бесконечности. Эти примеры ясно показывают сложный и противоречивый характер проблемных ситуаций в математике, которые связаны с глубокими философскими и логико-математическими представлениями о бесконечности.
В экспериментальных и эмпирических науках основная причина возникновения проблем заключается в обнаружения несоответствия или противоречия между прежними теоретическими методами объяснения и вновь обнаруженными эмпирическими фактами. Старые парадигмы, методы и теории оказываются не в состоянии объяснить новые факты, хотя в первое время их пытаются понять в рамках прежней парадигмы. Однако когда число таких аномальных фактов быстро возрастает, тогда происходит отказ от старой парадигмы и начинается перестройка всей прежней концептуальной системы.
Как в математике, так и в эмпирических науках такие процессы обычно связаны с решением новых фундаментальных проблем, которые приводят к кризисам и научным революциям.
В физике противоречия между прежними, классическими, представлениями о строении вещества, излучении и поглощении энергии, свойствах пространства и времени и соответственно вновь обнаруженными экспериментальными фактами привели в конце XIX- начале XX в. к революции, охватившей не только саму физику, но и точное естествознание в целом.
Фундаментальные проблемы, которые тогда были выдвинуты, решались с помощью создания таких новых неклассических теорий, как квантовая механика и теория относительности. Именно они помогли понять и объяснить новые экспериментальные факты, упорно не поддававшиеся объяснению в рамках классических теорий.
