Первая из фундаментальных проблем такого рода была связана с открытием несоизмеримых отрезков, таких, как диагональ и сторона квадрата, отношение которых не может быть выражено рациональным числом. Это открытие породило глубокий кризис не только в математике, но и в философии, так как подрывало основы пифагорейского учения о числах как сущности мира.
Вторая фундаментальная проблема возникла в связи с трудностями, обнаруженными в анализе бесконечно малых, основное содержание которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления. Расходящиеся результаты и противоречия, полученные со временем в анализе, были связаны в первую очередь с неодинаковым пониманием исходного его понятия — понятия бесконечно малого. Нередко бесконечно малая величина приравнивалась нулю, а чаще всего рассматривалась просто как крайне малая конечная величина. Это противоречие создало серьезную трудность и в результате привело к новой проблеме, вызвавшей второй кризис в основаниях математики. Выход из этого кризиса был найден с помощью теории пределов, которая стала рассматривать бесконечно малое как величину, стремящуюся к нулю как к своему пределу. На этом примере можно показать сложную цепь взаимосвязей, определяющих возникновение проблемы, начиная от потребностей техники производства, экспериментального естествознания и заканчивая стандартами логики.
Элементарная математика, которую нередко называют математикой постоянных величин, была не в состоянии математическими методами описывать движение и процессы. Между тем возникающая машинная индустрия Нового времени крайне нуждалась в таких методах, поэтому она и выдвинула проблему создания новой математики переменных величин — анализа бесконечно малых. Впоследствии, когда были обнаружены некоторые дефекты в математическом анализе, возникла чисто логико-математическая проблема обоснования анализа, которая на первом этапе была решена теорией пределов.
На этом возникновение и решение новых проблем не завершилось, хотя в конце XIX в. многим математикам казалось, что с созданием теории множеств математика получила окончательное обоснование. В этой абстрактной теории все математические объекты (числа, геометрические фигуры, функции и т. д.) рассматривались как элементы соответствующих множеств. Многие ученые считали, что в рамках теории множеств математика получила необходимую общность и прочное обоснование. Однако вскоре и в этой теории были обнаружены парадоксы, которые свидетельствовали о том, что фундамент всей классической математики нельзя считать вполне надежным. Поэтому вскоре после этого опять заговорили о кризисе оснований математики, который не преодолен и поныне. Хотя этот кризис не затрагивает те конкретные теории математики, которые больше всего применяются в прикладных науках, тем не менее сложившуюся ситуацию в обосновании математики нельзя считать удовлетворительной.
