Как работает Вселенная: Введение в современную космологию | страница 39

Здесь мы ввели относительный масштабный фактор u = r/r0, который может быть легко преобразован при r < r0 в красное смещение z простым соотношением 1/u = 1 + z.

Уравнение (2.16) полностью описывает зависимость H(u) или H(z). В современную эпоху u = 1, и оно выполняется автоматически. Проанализируем зависимость постоянной Хаббла от относительного масштабного фактора или красного смещения z.

При Ωm = 1 (плоская модель) имеем H = H0u–3/2, что соответствует монотонному уменьшению Н, стремящемуся к нулю при u → ∞. При Ωm < 1 (открытая модель) постоянная Хаббла также снижается, но медленнее. При Ωm > 1 (закрытая модель) первый член в скобках отрицателен, а второй – положителен. Второй член уменьшается быстрее, чем первый. Таким образом, если бы эта модель допускала большие значения u, то правая часть уравнения (2.16) в конечном итоге стала бы отрицательной, что невозможно. Таким образом, относительный масштабный фактор Вселенной увеличивается до тех пор, пока постоянная Хаббла не становится равной нулю, а после этого уменьшается. Мы можем найти максимальный масштабный фактор, приравняв выражение в квадратных скобках к нулю:

umax = rmax/r0 = Ωm0/(Ωm0 – 1). (2.17)

Чтобы найти зависимости от времени, нам нужно подставить уравнения (2.14) и (2.15) в уравнение (2.13), которое сводится к

Все, что требуется, чтобы вычислить этот интеграл, – заглянуть в хороший справочник. В простейшем случае плоской модели (Ωm0= 1) мы получаем:

Значение константы интегрирования выбрано таким образом, чтобы момент t = 0 соответствовал Большому взрыву.

Для открытой модели (Ωm0 < 1) мы имеем:

где p = Ωm0/(1 – Ωm0) > 0.

Для закрытой модели (Ωm0 > 1) мы имеем другое громоздкое выражение

где s = Ωm0/(Ωm0 – 1) > 1.

Мы использовали эти формулы для построения рис. 2.2. Теперь построим его еще раз, как рис 2.8, добавив масштабы на осях. Мы используем значение H0 = 68 (км/с)/Мпк, которое, впрочем, влияет только на временной масштаб графика. Мы использовали довольно экстремальные значения Ωm0= 0,5 и Ωm0= 1,5 для открытой и закрытой моделей.

Уравнение (2.21) дает нам промежуток времени от Большого взрыва до момента, когда замкнутая Вселенная достигает своего максимального размера, и равный ему промежуток времени с этого момента до Большого хруста:

Общее время жизни замкнутой Вселенной равно 2ΔT.

Некоторые полезные величины могут быть получены без каких-либо дифференциальных уравнений типа (2.12). Параметр замедления в космологии определяется как