То, что Архимед прав в своем скепсисе, показывает следующий пример другой бесконечной суммы, а именно:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
Если мы примем сторону открывателей «исчисления», то аналогичный ход мыслей выглядит так: мы хотим вычислить бесконечную сумму, утверждают Ньютон и Лейбниц. Для этого надо сложить бесконечное число слагаемых. Первое слагаемое равно единице, а каждое следующее слагаемое вдвое больше предыдущего. Уберем первое слагаемое, и у нас останется
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …
Совершенно очевидно, что здесь мы имеем двойную величину предыдущей суммы. И эта двойная величина на единицу меньше предыдущей суммы. Следовательно, она равна –1, ибо если из –1 вычесть 1, то останется –2, то есть величина, вдвое большая чем –1.
Этот аргумент слово в слово повторяет вышеприведенный аргумент. Тот, кто убедился в правильности предыдущих рассуждений, должен признать и корректность этих. Однако аргументация изобретателей «исчисления» приводит к поистине парадоксальному выводу:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = –1.
Этот результат очевидно нелеп! Действительно, в своей попытке убедить себя и других в том, что можно рассчитывать бесконечные суммы, изобретатели «исчисления» слишком много о себе вообразили[6]. Они, конечно, математические гении, но математическими богами они не были.
Все же это горький жребий — быть греческим богом, особенно в одном из образов, нарисованных Гесиодом или Гомером в их фантастических повествованиях. Боги греков (и просвещенные греки времен Платона, естественно, это знали) были воплощением мерзости: прежде всего, неугомонный женолюб отец богов Зевс; преследующая его ревнивица Гера; рожденная из морской пены Афродита, кружившая головы как богам, так и простым смертным; рожденная из головы Зевса, вечно девственная и злобная Афина; мрачный бог подземного мира Аид и заключенная в его царстве теней, пребывающая в полном отчаянии Персефона. Все эти и множество других богов и полубогов суть плоды необузданной фантазии. Все они — не более чем выдумка. Выражаясь современным языком, Гомер и Гесиод на глазах просвещенных греков изобрели то, что сегодня называют мыльными операми: на Олимпе, на горе, где обитают боги, разыгрываются бесконечные интриги, трагедии и комедии, которым — как и в обычных мыльных операх — нет конца. Разница между людьми и богами, как мы слышим от находчивых поэтов, заключается лишь в том, что одни смертны, а другие — бессмертны.
Несмотря на это, Илиада и Одиссея, оба величайших произведения Гомера, стали источником вдохновения всех образованных греков. Дело в том, что за фасадом историй о любви, ненависти и измене скрывались глубокие истины, не говоря уже о красоте языка, великолепии напевных стихов и поэтическом воображении. Архимед, естественно, хорошо знал Одиссею и использовал один из ее очаровательных эпизодов для составления несравненной математической загадки.
