Путеводитель для влюбленных в математику | страница 25

 – положительное действительное число (или ноль), тогда решение равно и ответ можно записать в виде десятичного числа сколько угодно точно. Если мы изобразим график y = x² – a (для любого квадратного уравнения он представляет собой параболу), решением будут те точки, где кривая пересекает ось абсцисс, или ось x. Иными словами, это такие значения x, при которых x² = a. На первом рисунке вы можете видеть графики y = x² – 3 и y = x² – 7. Первая парабола пересекает ось абсцисс при вторая парабола – при

Вопрос кардинально меняется, когда мы ищем такое число, что x² = –1. А существует ли оно в принципе? Если возвести в квадрат положительное число, ответом будет положительное число, скажем 5² = 5 × 5 = 25 > 0. Если возвести в квадрат отрицательное число, результат снова будет положительным числом: (–5)² = (–5) × (–5) = 25 > 0. Если возвести в квадрат ноль, получится ноль. Наше положение выглядит безнадежно.

Мы испытаем еще большее отчаянье, когда нарисуем график уравнения y = x² + 1 и увидим, что парабола нигде не пересекает ось абсцисс.

Есть искушение сдаться и объявить: «Нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел». На самом деле нам просто не хватает воображения. Да, не существует ни одного действительного числа, удовлетворяющего условию x² = –1, но, возможно, есть какие-то другие?

Решение на редкость просто. Раз нет такого действительного числа, что x² = –1, то мы просто создадим новое число, назовем его i и поставим условие i² = –1.

Конечно, в голове сразу зазвучит сигнал тревоги: «Откуда взялось это число? Выдумывать числа нельзя! Что за чепуха!»

Чтобы облегчить душу, назовем новое число мнимым[56]. В наших глазах такое число – второго сорта: мы не кладем i кубиков сахара в чашку кофе и не боимся, что расстояние до университета окажется равным i миль[57].

Мы просто решили поиграть и сами придумали правила. Хорошо, теперь давайте поразмышляем. Посмотрим, на что годно это число i. Мы знаем, что i × i = –1. А как насчет i + i? Если следовать привычным арифметическим правилам, то получится другое мнимое число: 2i. А что, если возвести это число в квадрат? Попробуем!

Другими словами, число 2i представляет собой квадратный корень из числа –4.

Теперь возведем в квадрат и посмотрим, что получится:

Таким образом,

представляет собой квадратный корень из числа –2. Когда мы приютили мнимое число