Путеводитель для влюбленных в математику | страница 24
Как это звучит? Сейчас почти все музыкальные инструменты настраивают по равномерно темперированному строю, и они ласкают наш слух. Но что мы теряем?
Вот как выглядит звуковая волна для трезвучия до мажор. В первом варианте частоты нот соотносятся как 4:5:6, во втором подобраны в соответствии с равномерно темперированным строем. Первый вариант выглядит (и звучит!) гораздо гармоничнее.
Преимущество равномерно темперированного строя состоит в том, что в нем нет необходимости постоянно перенастраивать музыкальные инструменты. Но есть один инструмент, способный менять тональность мгновенно: человеческий голос.
Вокальные ансамбли без инструментального сопровождения (например, «парикмахерские» квартеты[53]) не нуждаются в равномерно темперированном строе и берут ноты, соотношение частот которых можно выразить целыми числами. И мы слышим чудесные хорошо резонирующие звуки.
Глава 5
i
В главе 4 мы поразмышляли над «точным» значением числа √2 и пришли к выводу, что его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел и, следовательно, оно иррационально. Тем не менее мы можем найти его значение с невероятной точностью.
Число √2 не относится к рациональным числам, однако нас не мучает вопрос, существует ли такое число, что x² = 2. Несмотря ни на что, √2 имеет законную прописку где-то между 1,41 и 1,42. Это пример действительного числа[54]. Оно может быть выражено так:
± XXXX, XXXXXXXXXX…
Символом X помечены разные цифры. Число может быть положительным или отрицательным (знак + перед числом ставить не принято), количество цифр до запятой конечно, количество цифр после запятой бесконечно. Скажем, 1⅔ можно записать так[55]:
1,666666666666…
Такие числа, как 3/4, в десятичной системе счисления записываются с конечным числом цифр после запятой (0,75), но ничто не мешает прикрутить справа бесконечное количество нулей: 0,7500000000…
Таким образом,
Всякое ли уравнение x² = a имеет решение? Если a – положительное действительное число (или ноль), тогда решение равно