Стратегии решения математических задач | страница 57

Из таблицы видно, что на табло обоих часов будет 6:00 в конце 15-го дня. Конечно, одни из них будут показывать 6:00 a.m., а другие — 6:00 p.m. Тем не менее показания совпадут, а именно это и требовалось найти в задаче.

Сколько существует положительных трехзначных нечетных чисел, произведение цифр которых дает число 252?

Чаще всего начинают искать тройки множителей, произведение которых равно 252. Иначе говоря, выписывают наборы из трех цифр, дающие при перемножении 252. Это следует делать упорядоченно, начиная с цифр 1, 1, 252, за которыми следуют 1, 2, 126, затем 1, 3, 84, за ними 1, 4, 63 и т. д. Можно перебирать цифры таким образом до тех пор, пока не попадется хотя бы один набор, который даст нечетное трехзначное число. Не исключено, однако, что таких наборов несколько. Можно ли с уверенностью сказать, что найдены все возможные варианты? «Лобовой» подход не дает нам такой уверенности.

Попробуем применить нашу стратегию организации данных. Можно разложить число 252 на множители 2 × 2 × 3 × 3 × 7. Если одна из цифр 7, то другие цифры должны давать при перемножении 36, т. е. 4 и 9 или 6 и 6, поскольку все другие комбинации включают в себя множители, имеющие более одного знака. Комбинируя эти цифры с 7, мы находим пять чисел, которые удовлетворяют условиям задачи. Это 749, 479, 947, 497, 667 — все они нечетные трехзначные числа, а произведение их цифр равно 252.

Какое число в следующем ряду самое большое и какое число стоит на втором месте по величине?

В наши дни рука автоматически тянется к калькулятору. Однако найти ответ может быть не так просто, как кажется, поскольку не все калькуляторы могут извлекать такие корни.

Сначала для удобства представим члены заданного ряда в виде степеней с дробными показателями:

Эффективной стратегией здесь является организация данных так, чтобы было легко сравнивать.

У класса есть возможность принять участие в походе. Желающих оказалось пять человек, а свободных мест — всего три. В числе желающих — Аманда, Билл, Кэрол, Дэн и Эван. Учитель взял пять листочков бумаги, каждый с именем одного из желающих, положил их в шляпу и вытащил три листочка наугад. Какова вероятность того, что Аманда, Билл и Кэрол попадут в число участников похода?

Сначала определим, сколько вариантов выбора может существовать. Порядок не имеет значения, поэтому это комбинаторная задача. Из пяти листочков выбирают по три за раз: