Стратегии решения математических задач | страница 53

Существует 10 возможных комбинаций, на которых конкурс завершается. Исчерпывающий перечень комбинаций упорядоченно и наглядно представляет возможности.

Сколько треугольников изображено на рис. 7.1?

Как правило, люди начинают подсчитывать треугольники в том или ином порядке, но без определенной системы. Чаще всего это приводит к путанице и неуверенности в том, все ли треугольники учтены. Другой традиционный подход предполагает использование формальных методов подсчета. В этом случае определяются комбинации, которые могут быть образованы шестью линиями, и исключаются комбинации, образующиеся в результате совпадений. Количество комбинаций из шести линий по три равно _>6C_>3= 20. Из этого результата нужно вычесть три совпадения (по вершинам). Таким образом, в фигуре на рисунке 17 треугольников.

Для упрощения задачи преобразуем фигуру, будем постепенно добавлять линии и считать, что получается в результате использования такой формы организации данных. Иначе говоря, мы будем подсчитывать треугольники, образующиеся при добавлении каждой части. Начнем с исходного треугольника ABC. Итак, в начале мы имеем всего один треугольник.

Теперь рассмотрим треугольник ABC с одной внутренней линией AD. У нас получилось два новых треугольника ABD и ADC.

Добавим еще одну внутреннюю линию BE и подсчитаем все новые треугольники, имеющие сторону BE.

Таким же образом добавим линию CF и опять подсчитаем новые треугольники, имеющие сторону CF.

Представим полученные результаты в табличной форме.

Общее количество перечисленных выше треугольников равно 17.

Дана последовательность

В этом случае обычно прибегают к методу проб и ошибок и начинают добавлять члены в последовательность и перемножать их до тех пор, пока произведение не превысит 100 000. Такой подход трудоемок, и его точно нельзя назвать изящным.

Напишем сначала произведение первых n членов данной последовательности, что в определенном смысле будет организацией и представлением наших данных в более удобной форме:

«Превышает 100 000» означает, что нам нужно число, большее, чем 10^>5, а это происходит, только когда