Физические тела | страница 97
Средняя плотность Земли легко находится делением массы на объем земного шара. Это приводит нас к цифре 5,52. В то же время плотность поверхностных пород много меньше — она численно равна 2,75. Плотность земных слоев растет с глубиной. В поверхностных слоях Земли этот эффект берет верх над идеальным уменьшением, которое следует из выведенной формулы, и величина g возрастает.
На простом примере мы уже познакомились с энергией тяготения. Тело, поднятое на высоту h над Землей, обладает потенциальной энергией mgh.
Однако этой формулой можно пользоваться лишь тогда, когда высота h много меньше радиуса Земли.
Энергия тяготения — важная величина, и интересно получить формулу ее, которая годилась бы для тела, поднятого на любую высоту над Землей, а также вообще для двух масс, притягивающихся по универсальному закону:
Положим, что под действием взаимного притяжения тела немного сблизились. Между ними было расстояние r>1, а стало r>2. При этом совершается работа А = F∙(r>1 — r>2). Значение силы надо взять в какой-то средней точке. Итак,
Если r>1 и r>2 мало отличаются друг от друга, то можно заменить r>2>ср произведением r>1r>2. Получаем:
Эта работа произведена за счет энергии тяготения:
A = U>1 — U>2,
где U>1 — начальное, a U>2— конечное значение потенциальной энергии тяготения.
Сопоставляя эти две формулы, находим для потенциальной энергии выражение
Оно похоже на формулу силы тяготения, но в знаменателе стоит r в первой степени.
По этой формуле при очень больших r потенциальная энергия U = 0. Это разумно, так как на таких расстояниях притяжение уже не будет чувствоваться. Но при сближении тел потенциальная энергия должна уменьшаться. Ведь за ее счет происходит работа.
А куда же уменьшаться от нуля? В отрицательную сторону. Поэтому в формуле и стоит минус. Ведь —5 меньше нуля, а —10 меньше —5.
Если речь идет о движении около земной поверхности, то общее выражение силы тяготения можно заменить произведением mg. Тогда с большой точностью U>1 — U>2 = mgh.
Но на поверхности Земли тело имеет потенциальную энергию — γ∙M∙m/R — где R — радиус Земли. Значит, на высоте h над земной поверхностью
Когда мы впервые ввели формулу потенциальной энергии U = mgh, было условлено высоту и энергию отсчитывать от земной поверхности. Пользуясь формулой U = mgh, мы отбрасываем постоянный член — γ∙M∙m/R, условно считаем его равным нулю. Так как нас интересуют лишь разности энергий — ведь обычно измеряется работа, которая есть разность энергий, — то присутствие постоянного члена — у в формуле потенциальной энергии роли не играет.
