Физические тела | страница 68
Маятник служит простейшим примером колеблющегося тела. Однако мы заинтересованы в том, чтобы формулы и законы, которые мы находим, можно было бы распространить на любые колебания.
Период колебания маятника был выражен через его длину. Такая формула годится лишь для маятника. Но мы можем выразить период свободных колебаний через постоянную возвращающей силы k. Так как k = mg/l, то l/g = m/k, и, следовательно*
T = 2π∙√(m/k)
Эта формула распространяется на все случаи колебания, так как любое свободное колебание происходит под действием возвращающей силы.
Выразим теперь потенциальную энергию маятника через смещение из положения равновесия х. Потенциальная энергия грузика, когда он проходит низшую точку, может быть принята за нуль, и отсчет высоты подъема следует вести от этой точки. Обозначив буквой h разность высот точки подвеса и положения отклонившегося груза, запишем выражение потенциальной энергии: U = mg∙(l — h) или, пользуясь формулой разности квадратов,
Но, как видно из рисунка, l>2 — h>2 = x>2, x и h различаются весьма мало, и поэтому вместо l + h можно подставить 2l. Тогда U = (mg/2l)∙x>2 или
U = k∙x>2/2
Потенциальная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия.
Проверим правильность выведенной формулы. Потеря потенциальной энергии должна равняться работе возвращающей силы. Рассмотрим^ два положения тела — x>2 и x>1. Разность потенциальных энергий
Но разность, квадратов можно записать как произведение суммы на разность. Значит,
Но x>2 — x>1 есть путь, пройденный телом, kх>1 и kх>2 — значения возвращающей силы в начале и в конце движения, а (kх>1 + kх>2)/2 равно средней силе.
Наша формула привела нас к правильному результату: потеря потенциальной энергии равна произведенной работе.
Легко заставить колебаться шарик, подвесив его на пружину. Закрепим один конец пружины и оттянем шарик (рис. 4.6).
В растянутом состоянии пружина находится, пока мы оттягиваем шарик рукой. Если отпустить руку, пружина будет сокращаться, и шарик начнет движение к положению равновесия. Так же, как и маятник, пружина приходит в состояние покоя не сразу. По инерции будет пройдено положение равновесия, и пружина начнет сжиматься. Движение шарика замедляется и в какой-то момент он останавливается, чтобы тут же начать движение в обратную сторону. Возникает колебание с теми же типичными признаками, с которыми мы ознакомились, изучая маятник.