Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 35

t = (1 − 2w) / (1 − w).

Поэтому вероятность для игрока в «Красное и черное» выиграть y долларов с начальным достоянием в x долларов не превосходит (1), так же как и для игрока в «Потерянном раю». В терминах величины w эта верхняя грань равна

w·x / [w·x + (1 − w)·y].     (2)

Более того, значение (2) может быть достигнуто только в том случае, когда вероятность выиграть положительную сумму, меньшую, чем y, в отдельных играх равна нулю. Причем заведомо игрок либо проигрывает ровно x долларов, либо выигрывает ровно y. Можно показать, что эта ситуация осуществляется только тогда, когда y = x, и игрок участвует только в одной смелой игре с вероятностью выигрыша w, определяемой из (2), суммы в y долларов.

Задача об отыскании точных верхних границ и оптимальных стратегий для игрока в «Красное и черное», который хочет выиграть сумму, отличную от x, более трудна и мы не будем ее рассматривать.

Услышав впервые эту задачу, покойный великий математик Джон фон Нейман дал ответ с точными тремя знаками за 20 секунд в присутствии публики, которой потребовалось для решения значительно больше времени.

Конечно, для того, чтобы задача имела определенный ответ, надо наложить некоторые условия, упрощающие дело. Материал, из которого изготовлена монета, сила, с которой ее подбрасывают, и свойства поверхности, на которую она падает, должны такими, чтобы задача допускала эмпирическую проверку.

Кажется естественным подобрать эти условия таким образом, чтобы монету можно было рассматривать как вписанную в сферу, центр которой совпадает с центром тяжести монеты. Сама монета при этом трактуется как прямой круговой цилиндр (рис. 10, 11).

Рис. 10.

Рис. 11.

На поверхности сферы выбирается случайная точка, и если радиус, проведенный из центра в эту точку, пересекает боковую поверхность цилиндра, то считается, что монета упала на ребро.

На практике этой ситуации отвечает клейкая поверхность, мягко упав на которую монета опускается либо на ребро либо на одно из оснований (рис. 12).

Рис. 12.

Для решения задачи нам понадобится следующий результат. Поверхность куска сферы, заключенного между двумя параллельными плоскостями, пропорциональна расстоянию между этими плоскостями, так что толщина нашей монеты должна составлять 1/3 диаметра сферы. Дадим окончательный ответ в терминах диаметра монеты (рис. 13).