Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 23
где r = a/b. Заметим, что если a много больше, чем b, т. е. когда r велико, вероятность ничьей мала (что интуитивно вполне понятно). Формула верна также и при b = a, так как в этом случае вероятность ничьей равна единице.
23. Решение задачи о ничьих при бросании монеты
Ниже мы обобщим метод решения задачи 22 и покажем, что вероятность отсутствия ничейного результата (при N четном и N нечетном) равна
Эти формулы показывают, что указанная вероятность одна и та же для четного N и для следующего за ним нечетного числа N + 1. Например, когда N = 4, надо применить вторую формулу. Шестнадцатью возможными исходами являются
ААAA BAAA ABBA BABB
*AAAB AABB BABA *BBAB
*AABA ABAB BBAA *BBBA
ABAA BAAB ABBB *BBBB
где звездочкой отмечены комбинации с равновесным положением.
Поскольку число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то вторая формула действительно верна для этого значения N.
При N = 2n вероятность x выигрышей A есть
Если подставить в это выражение формулу для биномиальных коэффициентов и произвести необходимые сокращения, то с точностью до слагаемого
получим
Отсюда видно, что вероятность отсутствия ничьей есть
что после небольших преобразований может быть записано в виде
как было указано выше.
24. Решение задачи о странном метро
Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Мэрвин, скажем, в 3>00, 3>10, 3>20 и т. д., поезда в противоположном направлении в 3>01, 3>11, 3>21 и т. д. Чтобы поехать к матери, Мэрвин должен попасть в одноминутный интервал между поездами указанных типов.
25. Некоторые возможные решения задачи о длинах случайных хорд
Пока выражение «наудачу» не уточнено, задача не имеет определенного ответа. Следующие три возможных предположения с соответствующими тремя различными вероятностями иллюстрируют неопределенность понятия «наудачу», часто встречающуюся в геометрических задачах. Мы не можем гарантировать, что эти результаты должны согласовываться с некоторым физическим процессом, который мог бы быть использован для выбюра случайных хорд. Иначе задача могла бы быть проверена эмпирически.
