Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 22
21. Решение задачи о выборке с возвращением
Если первый вытянутый шар — красный, то неважно, из какой урны он вынут, так как теперь в этой урне будет поровну красных и черных шаров и второй шар не даст оснований для решения. Поэтому, если сначала вытянут красный шар, следует вернуть его в урну перед вторым извлечением. Если же вынут черный шар, то лучше не возвращать его в урну.
При такой стратегии вероятность правильного ответа равна:
| Урна A | Урна B | Решение | |
| Оба красные | 1/2·2/3·2/3 | 1/2·101/201·101/201 ≈ 1/8 | Урна A |
| Красный, черный | 1/2·2/3·1/3 | 1/2·101/201·100/201 ≈ 1/8 | Урна B |
| Черный, красный | 1/2·1/3·1 | 1/2·100/201·101/201 ≈ 1/8 | Урна A |
| Оба черные | 1/2·1/3·0 | 1/2·100/201·99/200 ≈ 1/8 | Урна B |
Полная вероятность правильного решения приближенно равна (заменяя 100/201 на 1/2 и т. д.):
Если вытягивать оба шара без возвращения, то вероятность угадать приблизительно равна 5/8, а при возвращении 21.5/36 (0.625 < 0.597).
22. Решение задачи о выборах
При a = 3 и b = 2 всеми возможными равновероятными последовательностями извлечения бюллетеней являются следующие:
АААВВ *ААВВА *АВВАА
*АВАВА *ВАВАА *ВААВА
*ВВААА ААВАВ *АВААВ
*ВАААВ,
где звездочкой отмечены комбинации, в которых имеет место равновесное положение. Таким образом, в нашем случае искомая вероятность равна 8/10.
Перейдем теперь к общей ситуации произвольных a и b. Рассмотрим сначала те последовательности, в которых первое равновесное положение достигается в случае, когда подсчитаны 2n бюллетеней, n ≤ b. Каждой последовательности, в которой A лидирует до первого ничейного результата, соответствует единственная последовательность, в которой лидирует B. Так, при n = 4 последовательности
ААВАВАВВ
с лидером A отвечает последовательность
ВВАВАВАА
в которой лидирует B. Эта последовательность получается из первой заменой A на B и B на A.
Итак, число последовательностей, в которых A лидирует до первой ничьей, равно числу последовательностей с лидером B. Задача сводится, таким образом, к вычислению вероятности равновесного положения, до которого лидирует B.
Так как за A подано большее количество голосов, то рано или поздно A становится лидером. Если первый бюллетень подан за B, то ничья неизбежна. Единственной возможностью ничьей с B, лидирующим в начале, является случай, когда первый бюллетень подан за B. Вероятность того, что это так, равна b/(a + b). Но это же значение равно вероятности ничьей с лидирующим в начале
