Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 14
7. Решение задачи о переубеждении упрямого игрока
Если Браун выиграет хоть один раз за 36 игр, он не потерпит убытка. Вероятность проиграть все 36 раз равна
Математическое ожидание выигрыша в одной игре есть
а в 36 играх:
При игре против благожелательного друга математическое ожидание выигрыша Брауна равно
20·0.617 − 20·0.383 = 4.68.
В итоге Браун в среднем получит 4.68 − 1.89 = 2.79 доллара за 36 игр и будет в выигрыше. Возможно, доброжелательный друг будет сам переубежден. Разумеется, если Браун проиграет все 36 игр, то потеряет 56 долларов, что весьма неприятно.
8. Решение задачи о «масти» при игре в бридж
Эта вероятность ничтожно мала. Так как колода хорошо перетасована, можно считать, что 13 карт сняты сверху. Для получения 13 карт одной масти нужно, вытащив сначала любую из 52 карт, извлечь затем все карты той же масти (которых всего 13 штук). Итак, число способов получения «масти» равно
52·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 52·12!
Общее же число способов извлечения 13 карт из 52 равно
52·51·50·49·48·47·46·45·44·43·42·41·40 = 52!/39!
Искомая вероятность равна 52·12!/(52!/36!) = 12!·39!/51! Обратная величина может трактоваться как среднее число игр до появления «масти».
Из таблиц[6] находим:
lg 12! = 8.68034, lg 51! = 66.19065,
lg 39! = 46.30959, lg (12!·39!) = 54.98993,
lg (12!·39!) = 54.98993, lg(12!·39!/51!) = 11.20072,
12!·39!/51! = 1.588·10>−11.
При вычислениях такого рода точный ответ часто приводит в замешательство. Что из того, что в одном из 160 миллиардов случаев имеется возможность получить «масть»? Сколь часто должны мы были бы слышать о таком событии? Явно завышая числа, предположим, что в США в бридж играют 10 миллионов, и что каждый игрок играет 10 раз всякий день в году. Это дает 36½ миллиардов игр в год, так что исключительную сдачу можно ожидать один раз в 4 года (причем о некоторых из них заведомо не будет объявлено публично). Даже в два раза большее количество игроков, которые играют к тому же в два раза чаще, привело бы лишь к одной такой сдаче в течение года.
Чем можно объяснить значительную большую частоту сообщений о появлении «масти»? Многими причинами, среди которых следует назвать склеивание карт и плохое тасование. (Нашумевший случай «масти», действительно имевший место, произошел при первой раздаче новой колоды.)
Несомненно также, что некоторые репортеры стали жертвами шуток и мистификаций. Если вы подстроили своей бабушке «масть» в день ее рождения и хотите потом сознаться в этом, то вы, наверное, все же промолчите, после того как об этом исключительном событии будут оповещены все родственники, друзья и. репортеры. С другой стороны, ввиду внимания к столь редким явлениям, кажется неправдоподобным, чтобы такую комбинацию подстраивали шулера.
